Nous examinerons, en particulier, le cas d’une
foncüon u de trois variables indépendantes x, y, z, qui
doivent ètre remplacées par trois autres variables indé: !
pendantes r, ©, 0, liées à x ,y, z par trois équations con= !
nues; dans ce cas , il s'agira d'exprimer toujours les dés
rivées partielles de w par rapport à x, y, z, au moyen de ses dérivées parüelles par rapport à r, 9, 8. Ge problème
renferme celui de la transformation des coordonnées dans des équations aux différentielles partielles où la variable {
principale est une fonction de trois coordonnées. Considérons uw comme fonction de 0, 9, r, et ces ders
nières comme fonction de x, y, 3; et diflérentions 4“
parüellement par rapport à x,Y, Z, nous aurons
du du d0 du do du dr
ÉCUE TS (3) Jde du d0 du de du dr dy dôdy dedy dr dy
du du d0 du do du dr
d dôd dede
Or, au moyen des trois équations entre æ&, y, Z; 0, gb
CUS er Vo
airs
on peut déterminer les dérivées partielles
do dû d4 dv do do dr dr dr : EN
dx’ dy dz dx’ dy” dz” dx dy” dz’
et, parconséquent , les équations (3) donnent les valeurs des dérivées partielles de la fonction w par rapport à x,» z, au moyen de celles de la mème fonction par
| rapport à 0, 9,7.
La résolution de ces trois équations ferait connaître du du du d du du du | 40° do’ 5 au moyen qe Ft dy ra les trouver directement par une marche inverse de la précédente.
mais on pourrait
Eu diflérentiant les équations (3) successivement par rapport à æ,y, z, on exprimerait les dérivées du second ordre par rapport aux variables indépendantes d’un des systèmes, au moyen des dérivées du second ordre par
LA x) 9 ù si 2 es rapport aux variables de l’autre; et l’on continuerait ainsi indéfiniment.
fa: le, en différentiant <Æ par ins, par eXeEMmP €, en ditierentiant Bgr pat rapport
à x, on serait ramené à former les dérivées partielles de du du du
—) —; — par rapport à x, et c'est ce que l’on ferai MP ‘PP q SEE : du du du ET er en traitant —; —, —, comme on avait d'abord traité u, do de dr
ce qui introduirait les dérivées du second ordre de u par rapport à 0, ©, r, tout le reste étant connu.
208. Appliquons ce procédé à une transformation qui se présente souvent dans les questions de mécanique et de physique mathématique.
Soient x , y, z les coordonnéés rectangles d’un point, et r, 0, d ses coordonnées polaires, de sorte qu'on ait
