CHANGEMENT DE VARIABLES
203. Cas d'une seule variable indépendante. — Nous considérerons d’abord les foncüons d’une seule variable indépendante; et l’objet que nous allons nous proposer est d'exprimer toutes les dérivées d’une fonctions y par L rapport à une variable x dont elle dépend, au moyen des» dérivées successives d’une autre fonction & par rapport M une variable {, regardée comme indépendante. {
Toutes les quantités dépendent d’une seule variable “= ainsi l’on a trois équations entre x, y, u, t; ou deux seulement, en laissant de côté celle qui exprimera 14 relation entre x et y. On voit qu’en vertu de ces trois équations, on peut considérer # comme une fonction de t, et ce sont les dérivées de « par rapport à £ que l'on | veut faire entrer dans des calculs où se trouvent les déri= |
Es
vées de y par rapport à x.
Pour cela nous allons d’abord exprimer les dérives | de y par rapport à x, en fonction des dérivées de x et 4 par rapport à la même variable indépendante t dont elles seraient regardées comme foneüons. Ces formules seront les mêmes, quelle que soit la forme particulière, tantde : équation entre x et y, que de celle qui doit lier x etp | avec t. Nous montrerons ensuite comment les dérivées « de æet y par rapport à £ peuvent s'exprimer au moyen de celles que l’on veut introduire, qui sont celles de“ par rapport à £. Ce dernier caleul dépend des équations qui lient x et y avec t et u, et peut-être encore “avec
e La
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 277 d’autres variables; et le nombre des équations doit toujours être tel, qu'il n’y ait qu'une seule variable indépendante, comme nous l'avons supposé.
- 204: Pour exprimer les dérivées de y par rapport à x au moyen de celles de x et y par rapport à £, nous observerons que , d’après le principe des fonctions de fonctions,
on à Andy dt dt I Dr == PA , 7 ou, pulIsque Te —— Pr dt
: dy de dx dx de
HMUE
Passons maintenant à l'expression de De Nous difléren-
üerons pour cela les deux membres de cetie équation par rapport à æ; mais, afin de n'introduire dans le second membre que des dérivées par rapport à t, nous le différentierons d'abord par rapport à £, puis nous multipliedt me. LESC ES 9 lons par => Où nous diviserons as mL Nous obtiendrons ainsi dr id dy
dy dé dt dé dt
; ME is ; De même, pour obtenir . nous diflérenuerons le sedx
à ? de dx cond membre par rapport à £, puis nous diviserons par + at
Et en continuant ainsi, il est elair que l’on aura l’expression de toutes les dérivées de y par rapport à x, au
2758 LIVRE IT, moyen de celles de x ety par rapport à une variable quel=" conque t, dont x et y seraient dépendants.
On peut, au lieu des dérivées de x et y par rapport a (ts introduire leurs différentielles ; il suffira de supprimer le diviseur dt, et il viendra . y d'ydx — d xdy dx! “E FT TC
Ces premières formules se rapportent au changement de la variable indépendante seulement.
Si l’on suppose que la variable £ soit la fonction y elle-même, on aura les dérivées de y par rapport à x, exprimées au moyen de celles de x par rapport à y, quelle que soit d’ailleurs la relation entre x et y. Ces formules
seront l'E dy ï PY dy?
de NT dy (5)
205. Considérons maintenant le cas général où l’on aurait entre m variables x,y,..., u,t, les m — 2 équations
S 9 de 66, + s 7e » ee vue es De
sans compter l'équation qui donne y en fonction de x. Si l’on différentie ces m— 2 équations par rapport à £, on
à dx dy r G d u l £ ourra exprimer — » -— en ionction de — ar la reso- P Î dt” dt dt ? P
lution d'équations du premier degré.
Différentiant de nouveau ces équations, on introduiram les dérivées secondes par rapport à £, et il y restera des dérivées premières que l’on pourra remplacer par leurs valeurs tirées des premières équations. On pourra donc
encore, par la résolution d'équations du premier degré, ee dy d'u du Ta? ji au MOyen de Past
En continuant ainsi, toutes les dérivées de x et de Y par rapport à £ seront exprimées au moyen de celles de w
par rapport à {; et comme nous avons donné les formules
tirer les valeurs de
a : AT générales qui expriment 5e TR) etc., au moyen de À |
ul >. ly LATE L
Er elc., TArS elce, 118 ’ensuit que l'on connai dy y du du : ;
tra — ... au moyen de —;——;..., ce qui était l’ob- 1x” dr? Ÿ FÉNPT RATE | À
jet de la question.
Si, au lieu d'équations finies, on avait des équations diflérentielles, il faudrait toujours chercher à en dé-
Fe Are dx 4 dy dy : l du RSR De, 2 CIC., —+ ——), eic., au moyen de ) dt” dr sat. de ÿ dt du PL eic., et l'on agiralit ensuite comme dans le cas pré: : cédent.
Supposons, par exemple, l'équation dx\2? £a
ana:
et proposons-nous d'exprimer T° gun? elC., au moyen de
dl x ; RCE LE ET :
Mon i ElC. La question se réduit ici à exprimer dy dy dx d'x
.! etc., au moyen de De Mae da ELCe +
Or on aura d'abord
érenticra l'équation donnée, et il
RFTCE Pour avoir —7 di
V4 à È À 4 : st ; “£ ; 4 a | Une nouvelle différentiation ferait connaître > et ainsi.
FÉ Fe Eye aù © NES LE CESSE 200 | AA AUS LIVRE TS, 78 4 SAR SA k viendra A + LAS ET Se +0 de de dt de’ LI red d'où " t dx dr dx dx dy 14 dt dé dt dE.
de part
de suite. 4h ‘4 Ce cas est celui où l’on déterminera une courbe par une équation entre l’are et l’abscisse. . |
206. Cas de plusieurs variables indépendantes. ns Considérons maintenant une fonction z de deux variables : indépendantes x, y. Sa forme n'est pas connue, et Pons ne doit pas av oir besoin d'en faire usage; mais on doit. toujours raisonner dans l'hypothèse qu’elle existe.
La question que nous nous proposons est de déterminer | les dérivées partielles de tous les ordres, de z par rapport à x et y, au moyen de celles d'une autre fonction r pa É rapport à deux autres variables indépendantes ® et 0, en supposant qu'il existe trois équations entre x, Jo 71; 6, savoir | ;
(1) F(x,7, z2,0,9,r)=0, Fix, 2,0; pr) #10, | « | Fe (507; 270, JT |
de sorte que quatre quelconques de ces six variables peuvent être regardées comme fonctions des deux autres qui seront entièrement arbitraires. | = #00
Cela posé, différentions successivement r par rapport et à chacune des variables x er y, la seconde étant supposée
constante; et considérons r comme dépendant de 0 et, 2
. qui eux-mêmes dépendent de x et y. Nous aurons ainsi
dr dr d0 dr do dr dr d0 dr do ee dx dôdx HAL ur ‘46 dy de.dr Il faut maintenant éliminer de ces équations les dériar do do dr : CSA RE —, —!, —, et cel diffévees FF TR PU dy dy dy (e pour cela nous Jile rentierons d'abord les équations (1) par rapport à x; d’où
dE d0 dFde dFdr dF dF dz
DU duo ar dx | dr ds dx °?
dYF,d9 dF de. à dr dF, dE, dz Late D dr de dx ds dx °°
dF,«d0 dF:de dE, dr db Esde RER d9 dx do Aïe * dx dx es dz dx — We
: É + d9 de tr s dz DORAUMSITErUNS , —, ——, en fonction de —- : ‘et dre drbr'dx dx
les reportant dans la première s' (2) nous en tiredz dr rons immédiatement — en fonction de —» =:
dx ie do Différentiant de mème les équations (1) par rapport à y el faisant usage de la seconde équation (2), on obtiendra dz “LEE Le ÉNE r ee ; Le = au moyen de —; —; ce qui était l’objet âue l’on s’édy * do do « à tait proposé.
ar. dr
On conclurait facilement de là A Ze au moyen de [4 6
dz dz , . + = 1 par la résolution de deux équations du premier
dx degré; mais on pourrait d’ailleurs les obtenir directement en suivant une marche inverse.
On passera aux dérivées partielles du second ordre en
SE ; dr dr x :
différentiant T2 5 par rapport à x et y : on sera ramené
202 LIVRE Il.
à différeutie dr dr, ir rapport à x et y Tel OR ICE
à différentier — ; arr ta rai do do Ï PP JS | À
tera comme on a traité 7, ce qui introduira les dérivées
du second ordre de r par rapport a Oet o.
19 d d0 d On aura en outre à différentier sa Me — dx” dx’ dy dy
qui introduira les dérivées partielles du second ordre de 3 *
par rapport à x et y, dont on aura ainsi les valeurs.
Il est facile de voir que cette méthode s'applique àsun M nombre quelconque de variables indépendantes, et s'é-.
tend aux dérivées de ioutes les autres.
