CHAPITRE V

APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. j

209. Détermination des valeurs particulières des fonc-. è , : 0 tions qui se présentent sous les formes =? & ? © X 0

1® , © °,0°.— Lorsqu'une fonction est le quotïentdedeux * autres fonctions de x, et qu’une valeur particulière de # rend ces deux dernières nulles ou infinies, la valeur de

. LA ; 0 ee) la première se présente sous la forme s Où go Et dans ce

cas, on peut se proposer de déterminer la valeur vers la= quelle converge la fraction donnée, lorsque x tend vers. cette valeur particulière; c’est cette valeur limite que l’on désigne souvent sous le nom de vraie valeur de la frac-

. . , . 2 . ’ O ton qui se présente sous la forme indéterminée — ou un Oo

Cherchons d’abord la limite de F2 lorsque x tend !

vers une valeur x, telle que l’on ait F(4)= 0, Jia) 20:

Soit } une quantité tendant vers zéro, on aura, d’après le n° 45,

Firm +) F(rx+04) Fax, + Ah) TU (To + 0h)" donc | AE") He A NE CT pa = lim. (x)?

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 207 lorsque x tend vers x,; et, par conséquent, si F’(x;) et f! {æx6)nesont pas nuls ni infinis, la limite cherchée era Pa S ——— °.

J'() Si l’on avait encore

F’ (x) f'\x) ainsi de suite

Si donc toutes les dérivées jusqu’à l’ordre 7 exclusivement deviennent nulles pour x = x,, la limite cherchée

. A TL serait la même que celle de 1 et

la limite de

F° (x) = j n x sera celle der); étisiE" (x;) et f? (x;) ne sont ni nulles ni infinies, on aura, pour valeur de cette limite,

F°(x,) Fa (x)

Si Pune de ces dernières dérivées est encore nulle, la limite sera o si c'est F” (x,) qui est nulle, et la fonction croitra sans limite si c’est f” (x).