Supposons maintenant

Hit), MOTS 007.

d’où : 1 à 1 Oo; F LEA FX) 1 on auræidentiquement - SEX PSE f'(x +04) F(x ps h) 7 PUR + h) f(x, +0k) PAR AT 0 1 : F'{r, +0)

d'où . en représentant ERA pa © (A) \ è P ù f(x, + k) Par :

/ 2 1 F (x + 9h) __#(04) — + (84) PU F'{m +908) : p(4) (A)

Or, si À fa ouo(h),a une limite finie, o (8h) aura Wa

KR LS o(0 ps >

même limite, et n tendra vers l'unité; on aura

FA | donc

. F nc) , F’ (x)

lim. = Nm.-——.

Si, au contraire, l'expression

Fa tend vers o ou æ; elle finira, en général, par varier constamment dansdè mème sens, à mesure que x tendra vers x,; et le facteur (0) ? (4)

second , plus grand que l’unité. Donc

ie t par $ d

Fa)" et par conséquent, dans F (x)

tous les cas, la recherche de la vraie valeur de —— sert

sera, dans le premier cas, plus petit, et, dansde

devientnulou

infini en même temps que

F’(0 F@ Si donc F’ (xs) et f' (2x9) ne sont ni nuls ni infinis a limite cherchée sera

mène à celle de

Si les dérivées de F (x), f(x) devenaient infinies jus qu’à un certain ordre, on agirait comme dans le cas pré cédent. Mais si elles deviennent toutes infinies, cette mé thode ne sera plus applicable; et ce qu'il y a souvent«de

mieux à faire dans ce cas, c’est de remplacer x par x, + et d'effectuer les réductions.

Airisi soit, par exemple, la fraction

LCR VT— I SRRPREALE ?

Vz! — 2

ses deux termes deviennent nuls pour x =x,, et toutes les

dérivées deviennent infinies. Mais si l’on pose x=+,+/, elle devient

VA k * D, ou — =; Vh(oz + k) h‘ (2x + h)* : NÉ: hTT supprimant le facteur commun hf, il reste ———, (2x,+ h)°

dont la limite est zéro quand h tend vers zéro.

211. La valeur x, étant arbitraire peut être supposée aussi grande que l’on voudra, et, par conséquent, les régles précédentes s'appliquent au cas où l’on a x, = Mais la démonstration directe ne pourrait plus se faire de la même manière dans ce cas, et il est bon de l’examiner à part.

e* I Si lon pose x Ai on aura

y tendant vers zéro, il n’y aura aucune difliculté, et Pon aura, par la démonstration précédente,

Y WALTER ss {

hm. = lim.