DES FONCTIONS

I. L’analyse est la partie des Mathématiques qui étudie les relations des grandeurs envisagées en elles-mêmes et indépendamment de l’interprétation concrète qu'on peut leur attribuer. On sait que cette science procède au moyen d'équations qui sont l'expression de l égalité de deux fonctions. Mais cette notion fondamentale mérite d’être fixée

’ * c avec soin. > ' • \ • .

Lorsque deux quantités dépendent l'une de l’autre de telle mauière que l une étant donnée, la valeur de la seconde s’ensuive nécessairement, glles sont dites fonction l’une de l’autre. On appelle aussi 'variable indépendante celle qu'on se donne arbitrairement et fonction celle qui s’en déduit. ' ’ j

Si, par exemple, on considère un carré, il présente une certaine superficie; et si on vient à changer la longueur du côté, cette surface variera nécessairement. Il existe entre ces deux éléments une relation qu’on exprime en mulli-

IN TU Ol> UCT ION.

plia ni par, lui-même le nombre .r qui représente le côté. Dans eel exemple, le voté est la variable et la surface en est la fonction. On la représente par x* et on l’appelle pour celle raison le carré de x.

Autre exemple : Si on prend une longueur égale à l'unité inclinée sons un certain angle ,r, elle aura une projection horizontale qui changera nécessairement avec cet angle. Ici I inclinaison est la variable, et la projection en est la fonction qu’on exprime par cos .r.

On appelle par opposition des constantes les quantités .qui up changent pas quand la variable prend diverses valeurs. Si, par exemple, on projette un cercle sur un plan oblique, on obtient une ellipse dont le petit axe varie, avec l'inclinaison respective des deux plans, mais dont le grand axe reste toujours le même et égal au diamètre du cercle. Dans cet exemple l’angle des plans est la \ariable, le petit axe en est fonction et le grand axe est une constante. . .... y •

'i. Le nombre des fonctions est nécessairement illimité, comme celui des questions qu’on peut se proposer. Mais lorsqu’on a la moindre Jiabilude du calcul, on y voit constamment reparaître «les éléments toujours les mêmes, tels . . que des logarithmes, des sinus, des radicaux, etc., à l’aide desquels sont formées les autres fonctions. Ces éléments sont appelés fondions simples par opposition aux fonctions complexes qu'ils servent à composer. Le nombre des premières est essentiellement limité et même trèsrestreint. 11 y a par suite intérêt à en présenter la nomenclature.

Je désignerai pour cela para’ la variable, par y la fonction et par ni une constante dont la valeur reste indéterminée. Les fonctions simples sont ali nombre de dix et peuvent se grouper de la manière, suivante:

introduction.

j Somme. m -f- x (')

\ Différence rn — x

^ Produit." mx -

j Rapport x . . • —

^ | Puissance. . . ,x m

f Racine

f j Exponentielle.. e* f 1 )

■ ( Logarithme ................ Lx ( ! )

„ j Fonction trigonometrique. . . . sin x (‘)

| Fonction circulaire are sin x (‘).

11 existe d’autres signes de fonctions en usage dans l’analyse. Mais on peut les ramener aux précédents par les formules suivantes (*)

m x — e * log x z= log c. Lx,

cos x — v 1 — sin J x, arc cos x = arc sin x ,

sin or f x \

taugx = , . . — > arctang.r = arc sin | ■ - j,

\/i — sin’x \\/* •* rI y •

(*V Les six premières fonctions sont souvent appelées algébriques , et les quatre autres transcendantes .

(* ) e désigne non pas une constante quelconque, mais lli base du système népérien dont la valeur est 2,71828182846

(') La caractéristique L se rapporte aux logarithmes népériens. Les logarithmes à base quelconque seront désignés, comme à Vç^dinaire, par l’abréviation log. . ' ,

( 4 ) Le sinus est pris ici dans le cercle de rayon égal à l'imité et non pas , comme pour les calculs numériques, à io ,# .

(*) Liarc qu’on donne par son sinus a, comme on sait, une infinité et même deux séries infinies de valeurs; mais nous le réduisons ici à la valeur unique que Von‘ trouve toujours dans le premier quadrant soit positif, soit négatif.

(•) De ces formules celles de la première ligne sont connues par l’algèbre et celles de la première colonne par la trigonométrie. Quant aux autres, elles

introduction.

Nous rangerons donc ces' expressions dans les fondions complexes, afin de réduire an moindre nombre possible les éléments simples <pie nous aurons à, étudier diçectemeni.

3. 11 y a toujours à l’occasion d’une fonction deux questions distinctes à envisager : son évaluation numérique lorsque la quantité, dont «die dépend est donnée ou nombres et son calcul analytique «piatul cette quantité reste indéterminée cl représentée par une lettre.

I.e calcul numérique se lice tue soit par de véritables opérations arithmétiques, telles que la multiplication, la division, l’extraction des racines, etc., soit au moyen detables construites une fois pour toutes lorsque le procédé d’évaluation directe est par trop laborieux, comme pour les logarithmes, les sinus naturels, etc. Cette théorie r^ste essentiellement bornée à tlix opérations distinctes • qui correspondent aux dix fonctions. Simples. Car qucl- «|ue compliquée que soit une. fonction, elle ne donnera

se justifient toutes de la même manière, et je me contenterai de prendre ponr exemple arc langx.

Quand on connaît la tangente d’un arc , son sinus ' s’exprime par

— . ta - n E Or la tangente de l’arc dont il s’agit est r. Le sinus est donc

y^i ■+■ tang* •

^ et par suite, au lieu de designer cet arc par sa tangente sous la forme

arctangjr, on peut le donner par son sinus en écrivant arcein ~ * ■

NT RO IM CTIoJ«.

lieu qu’à l'application Successive îles règles eu question.. Par exemple, pour évalue!’ log sin ^.r, ou raleulera d’abord lu racine ) de x, puis le sinus c de v- el enfin le logarithme h de z. u sera la valeur cherchée.

11 n’en est pas de meme du calcul analytique. Scs procédés sont variés à l’infini et chaque fonction devrait avoir en quelque sorte sa théorie. Un pareil travail n’a pu être efléctué ou même ébauché que pour les plus simples et les plus importantes. Il comprend les calculs algébrique, logarithmique et trigonométrique, qui constituent Y analyse ordinaire et dont les procédés sont essentiellement spéciaux.

Nous avons à nous occuper ici de l'analyse dite transcendante ou infinitésimale, dont les opérations ollrenf au contraire un caractère d’enticre généralité. Celle analyse est la mise en pratique d’une méthode fondamentale qu'on appelle de même infinitésimale, et qu'il faut commencer par faire connaître (’).

MÉ Tl IODE IN FIN1TÉS1M ,\LF. .

•i. Pour être mieux compris, je prendrai d'abord un exemple. Je supposerai qu’on veuille mener une .tangente à la parabole, qui a pour équation

en un point M,’ dont les coordonnées soientx / , y'. J’appelle tangente dans ce cas particulier une droite qui passe par le point M en laissant toute la courbe d’un même, côté.

(•) Celte explication est d’une grande importance et en même temps assez délicate. .Si l’dn éprouvait quelque difficulté à en bien saisir tous les détails au premier abord, le mieux serait peut-être de passer de suite aux applications. .A une seconde lecture les difficultés auraient disparu

INTRODUCTION

Si l’on proposait cette question -à une personne 'complètement étrangère aux connaissances les plus répandues a ce sujet, sa première idée serait sans doute de recourir à une approximation, sauf à la rendre la plus parfaite possible et à en déduire même ultérieurement line solution .rigoureuse, si cela est possible. On prendra pour cola sur la courbe un autre point M' dont je désignerai les coordonnées para: -+- a et y -+- |3. Si nous joignons ces deux points patune ligue droite SMM ; , ce ne sera certainement pas la tan-

Fi([. i.

gcnle, puisque celle-ci doit laisser toute la coprbe d'un même côté, et que la droite en question laisse au-dessus d’elle l’arc MM'. Mais il dépend de nous de faire que cet arc soit petit et par suite que la droite qui vient d’être tracée dilïèrc peu de la tangente. Il suffit pour cela de prendre le point M' voisin du point M, c’est-à-dire a et (3 petits. Or rien ne nous en empêche. Sr donc uous nous résignons jusqu’à nouvel ordre à nous contenter d’une approximation que nous sommes eu état de rendre aussi parfaite qu’on pourra le désirer, nous pourrons, considérer SMM' comme la tangente. Adoptons cette manière de voir et poursuivons.

La droite que nous traçons ainsi par les points x\ ÿ et x' -|- a, y' (6 aura pour équation

mais il est nécessaire d’exprimer que ces deux points oui

iflTisonn tiok.

été pris sur la courbe, cr qui sc fera par les relations

( ) ' -4- jb' =z 2 . /i ( i' a).

F,n développant la seconde of retranchant la première, il reste - "

a P.r' + ft ’=J/n,.- P *P

et par celle substitution l'équation de la drpile devient y — y' = — '

Si "pour la construire aisément nous cherchons le point Soit elle rencontre l'axe de la courbe, il suffira de faire y = o et de remplacer a: par l’abscisse x„ de et* point. On trouve ainsi

Je ferai mainteuant»le raisonnement suivant : Ce o est t|u’au prix d’une certaine erreur que nous pouvons cou-" sidérer cette expression comme déterminant la tangente; et pour que cette approximation soit admissible, il faut que fi soit une petite quantité. Mais alors ou peut encore négliger (3 dans la dernière relation vis-à-vis de "xj 1 qui a une valeur fixe. Par là on commet certainement une nouvelle* erreur. Mais d’abord il est moins grave de combiner une seconde faute avec une première que d’abandonner par celle première inexactitude le terratu de la rigueur. De plus, il est possible que celle nouvelle erreur atténue la première en nous rapprochant de la vérité. Fnfiu nous courons la chance qu’elle la compense tout juste, en rétablissant l’exactitude (jue nous avions dù abandonner momentanément.

- 1MT.OOLCTION.

A la vérité» cette chance peut paraître peu probable à priori, et cependant i! est facile de reconnaître que c’est précisément ce qui arrive; car si nous négligeons 6, il vient

ce qui nous indique que l’intersection de la droite avec l’axe est symétrique du pied P de l’ordonnée par rapport au sommet O; et chacun sait que telle est dans la parabole la construction rigoureuse de la tangente.

5. Ainsi donc on voit que la méthode que nous venons d’employer, qui semblait ne nous promettre, dans Ig principe, qu’une approximation plus ou moins satisfaisante, s’est trouvée redressée, justement par ce qui semblait devoir la fausser encore davantage, par une espèce de faute de calcul, et nous a conduits très-directement au résultat rigoureux.

A la vérité, nous n’avons été avertis dans le cas actuel que les erreurs s’étaient mutuellement redressées, qu’en nous reportant à des notions préalablement acquises. Mars je vais maintenant formuler la méthode d’une manière générale, et j’y joindrai ce qui est tout à fait indispensable, un symptôme sûr et clair auquel on puisse recon-' naître que la compensation des erreurs a été effectuée. De sorte que le résultat ainsi obtenu sera aussi rigoureux cl méritera une confiance aussi entière que si on le devait aux démonstrations ordinaires.

6. La méthode infinitésimale consiste dans les opérations suivantes ; On introduit dans l’étude de la question, outre les quantités qui y figurent naturellement, données ou inconnues, variables ou constantes, d’autres éléments qu’on peut se donner arbitrairement et faire décroît te

INTRODUCTION

au-dessous de toute limite assignable, en approchant de zéro autant qu’on le voudra. On les appelle des infiniment petits. Ils ne sont pas seulement petits, mais arbitraires, et on reste à chaque instant le maître d'abaisser encore leur degré de grandeur si on Te juge à propos. Qn en a eu tout à l’heure un exemple dans % et ,6, car rien n’assignait la distance du point M' au point M, et elle est restée jusqu’à la fin à notre disposition.

On pose des équations entre tous ces éléments en se donnant (c’est le point important) la faculté de négliger' les infiniment petits partout où ils se trouvent devant des quantités finies. Il est évident qu’il résultera de cette manière de faire une grande simplification. 11 ne faut pas se dissimuler non plus que l'équation ainsi obtenue scia entachée d’une erreur. Mais celle-ci est telle, que nous pouvons l’atténuer à Volonté, puisqu’elle dépend de quantités que nous pouvons, faire décroître autant que nous le voudrons. La relation est donc inexacte, mais aussi près d’ètre exacte qu’on peut le désirer. Nous distinguerons avec Carnot cet état sous le imin d’équations imparfaites, paropposition aux équations fausses qui seraient troublées par une erreur fixe, grande ou petite.

•On se sert- alors des relations ainsi obtenues en leur faisant subir les transformations convenables dans chaque cas particulier, et en continuant à négliger, s’il y a lieu, les infiniment petits devant les quantités finies. Ou conçoit fort bien, comme nous eu avons eu un exemple, qu'il puisse arriver telle dernière erreur qui compense tout juste toutes celles qui ont été commises avant elle, et qui corrige ainsi 1 équation de ce qui lui manque poueèlrC exacte.

7. Or je dis que cela arrivera nécessairement si on parvient, n’importe par quel moyen, à faire disparaître tous les infiniment petits, l’.t tel est le symptôme dont j’avais parlé.

ÎO • INTROni'CTIOS. • '*

En effet, il arrivera nécessairement de trois choses I une: ou l’équation est exacte, ou elle est imparfaite, ou elle est fausse.

Or, d’une part, l'équation ne peut être fausse, car nous n’avons jamais rien négligé de fini, mais seulement des quantités qui restent à notre disposition et dont la combinaison ne peut former une erreur qui n’y soit pas, ce qui serait le caractère d’une équation fausse.

Elle n’est pas non [dus imparfaite, car' cela voudrait • dire qu elle est entachée d’une erreur dont nous restons maîtres. Or notre seul moyen d’action pour la faire varier consisterait à disposer des • infiniment petits; mais par hypothèse, l’équation n’en contient plus, nous n’avons donc plus par là aucune prise sur elle.

Puisque l’équation n’est ni fausse ni imparfaite, il s'ensuit qu’elle est rigoureusement exacte.

8. Je ne quitterai pas ce sujet sans insister un instant sur la singularité d’une méthode qui emploie l’erreur pour parvenir à la connaissance de la vérité, et qui côtoie, pour ainsi dire, la vraie roule, en la quittant pourtant dès le début pour n’y rentrer qu’au dernier moment; mais avec la certitude d’arriver au but. » •

Si eetle manière de faire pouvait paraitre par trop bizarre, remarquons qu’elle l’est. au fond beaucoup moins que celle qui emploie comme intermédiaires les quantités imaginaires. Car alors on ne peut pas à un moment donné traduire les équations en langage ordinaire et dire au juste où en est la question. Tandis qu’une équation imparfaite est toujours une ‘relation claire et facile à comprendre-, dont la seule particularité esl-d’ètre un peu différente de celle que l’on devrait avoir en réalité. Ainsi le parallèle est Complet : comme intermédiaires, les imaginaires cl les infiniinenC petits sont parfaitement admissibles; mais si l’on

INTRODUCTION

ne parvient pas à en dégager le résuliat, la questionne peut être considérée comme complètement résolue, car dans le •premier cas le résultat est impossible à interpréter, et dans le second il est à côté du vrai.

Telle est la véritable idée qu'il faut se faire de la méthode infinitésimale; et on se méprendrait étrangement sur sa nature en considérant lesinfiniment petits comme des quantités d’une petitesse telle, qu’il est sans intérêt d’en tenir compte, . et qu'on peut les négliger, suivant une expression qu'on prête à Leibnitz, « comme un grain de sable vis-à-vis de la » masse de la terre ». Cela réduirait celte méthode si remarquable à n’ètre plus qu’un calcul d'approximation, plus ou moins parfait, suivant que les quantités négligées seraient d’un ordre plus ou moins élevé, mais nécessairement V erroné. Tandis que le fait d’être non pas très-petits à un degré déterminé, mais indéfiniment décroissants, c’est-à-dire arbitraires, nous fournil un moyeu très-simple, comme on vient de le voir, de nous délivrer définitivement de toute inexactitude.

fl. Pour compléter ces notions, il faut encore expliquer ce qu’on entend par les différents ordres d’infiniment petits.

Si l’on prend le rapport de deux de ces quantités, il peut arriver d’abord qu’il soit fini, car la valeur d'une fraction ne dépend nullement de l’ordre de grandeur de ses termes. Dans ce cas, les infiniment petits sont dits du même ordre. Si le rapport est lui-même infiniment petit, le numérateur est dit d’un ordre supérieur au dénominateur ou encore infiniment petit par l'apport à celui-ci.

Par exemple, soient a, j3, y, . . . des infiniment petits du premier ordre. Les quantités a% . . . seront appelées du second ordre, parce que letu's rapports à l’une des premières a. sont «, fi,,. . ., cest-à-dire du premier. De même

1 M ÙODtCTlON .

a% a* p, otjSy, . . . seront du Itoisièuic ordiv, [>am*<|uc leurs

rapports à une (pki mité dû second, a ! sont jr, {3, - y,..,,

.c’est-à-dire du premier ordre. Au •contraire, ^ sera du

premier, parce que son rapport a a. est - quantité lime.

Sans insister davantage, ou voit que l’ordre inlinitésjntal s estime comme l’ordre d’homogénéité; lorsqu’on veut reconnaître, par exemple, si uue expression géométrique représente une longueur, une surface ou un volume.

10. Cela posé, pour compléter la méthode infinitésimale, on doit négliger les infiniment petits d'ordre supérieur vis-à- • vis ceux d’ordre inférieur. ,

Eu cfiet, supposons, pour fixer les idées, que l’ordre le moins élevé des infiniment petits qui entrent dans une équation soit n. Divisons tout par a.", a. étant du premier ordre. Les termes de l’ordre n deviennent finis, puisque nous les rapportons à une quantité du même ordre. Tous les autres restent infiniment petits du premier, du second, du troisième... ordres. Dans cet état de choses, nous sommes autorisés par ce qui précède à négliger toute la partie infinitésimale devant les termes finis. Si maintenant

nous supprimons le facteur • nous retrouvons V équation

telle quelle était, mais débarrassée des infiniment petits d’ordre supérieur. Ainsi donc l'énoncé de la méthode doit • être modifié de la manière suivante:

Négliger constamment les infiniment petits d'ordre supérieur devant ceux d ordre inférieur, et bien se garder d'en négliger vis-ii-vis de ceux du meme ordre. Puis diriger tout le calcul vers V élimination complète des iti/iniment petits.

INT IIODTJCTION .

$ III