Exemple I. — Ucprcnons l’équation différentielle

3 a 8 livre iv.

partielle des cylindres (68)

■ ! dz V /«ta \ ' 1 f ' • • *

”U)'"Uh" : - .

dans laquelle a est la fonction inconnue de x et y. Nous

posons les équations simultanées

dy eh

ou en séparant

intégrant

d.v =metz , dy—ndz,

<r mz -t- C; y=(ii~ (- C',

résolvant par rapport aux constantes

• x — mz — C, y -r-r nz=.C ,

et établissant entre elles une relation arbitraire ef^x — mz, y — nz)±=o.

Il suffit de supposer cette formule résolue par rapport à l’une des deux quantités qu’elle renferme pour retrouver l’équation des cylindres sous sa première forme (66).

Exemple II. — Considérons de même l’équatrop diiléreulielle partielle des cônes (69)

/ dz\ , / dz \

Nous poserons les équations simultanées

eLc dy ‘ dz

CALCUL ISTÊCBAL.

Elles oui pour intégrales

. ' £(* — «?) = L [z — 7 ) - 4 - LCi

t.(x- ?) = Z(* - y}-h‘LC;

et, en résolvant par rapport aux constantes,'

3 ay

d’où l’intégrale générale '

où l’on reconnaît de même l’équation finie des cènes (67).

272 . Il peut arriver que l’équation soit sans second membre, ou que U = o.. Alors l’un des membres des équations simultanées est et' comme les autres 11c sont pasinfinis,, il faut nécessairement poser

du = o , u = C.

Ainsi l’une des expressions entre lesquelles on a à établir une relation arbitraire est u lui-même, les n — 1 autres sont déterminées par les n autres membres qui 11e présentent plus de difficulté.

Exemple. — Considérons celte équation fort simple qui a été rencontrée par Poisson dans l’étude de la chaleur latente des gaz ~ '

33» LIVRK iv.;— CALCI L INTÉGnÂL.

Ltî système simultané ae réduit alors à l'équation

d’où

c’esl-n-dirr

rix t/y

■r niy 1

L > — — Ly -+- 4 - LC ,

tu ' • ni

On obtient, par suite, l'intégrale général*