ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES
268 . La question que nous venons de résoudre consiste dans la détermination d’une fonction n de plusieurs variables indépendantes x, y, z, . . . lorsque toutes 6cs dérivées
■> ••• sont immédiatement données. Un problème plus difficile consiste dans la recherche d’une fonction d'après une condition quelconque donnée entre elle et ses dérivées partielles. Une pareille relation est appelée équation différentielle partielle. On en a vu des exemples dans les. équations collectives de familles de surfaces ( 181 )'. ' ' -
L’arbitraire que comporte la détermination d’une fonction d’après'une équation différentielle partielle est beaucoup plus large qu’avec les équations différentielles ordinaires. An lieu de constantes arbitraires, l’intégrale générale renferme des fonctions arbitraires. On peut reconnaître en effet ce caractère dans les équations finies des fautiHes de surfaces (66) et (67). qui sont équivalentes à leurs équations différeutiellcspariielles ^68) et (69), et en constituent par suite les intégrales générales.
Une équation différentielle partielle est dite linéaire lorsque les dérivées partielles 11’y figurent qu’au premier degré et sans se multiplier l'une l’autre. Il n’est pas nécessaire, comme pour les équations différentielles ordinaires, que la fonction elle-même n’y paraisse qu’au premier degré et sans multiplier aucune de ses dérivées. Elle peut figurer d’une manière quelconque dans les -différents termes.
partielles f ~
du \ '/du dyf \dt
- CÀlCCL INTÉGRAL. 3 2 5
Il existe pour l'intégration des équations linéaiiesdu premier ordre à coefficients quelconques tinc méthode géuérale due à Jacobi, que je vais d’abord énoncer. Je démontrerai ensuite à posteriori l’exactitude du résultat.
•269. Considérons l’équation différentielle partielle
dans laquelle u désigne une fonction inconnue des n variables indépendantes J 1 , y, et X, Y, Z,..., U des
expressions connues formées avec toutes ces quantités indistinctement.
On change' complètement le point de vue, et on envisage pour un instant x, -y, z,... comme des fonctions dç la seule variable u déterminées par ce système d’équations simultanées -
(tb 7 j
e/r r/y rit
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Les, n intégrales peuvent toujours être Supposées résolues par rapport à leurs constantes arbitraires sous la forme
(»o8) f\ ~ Ci , ..., /r = Cm
le type général de- ces équations étant le suivant
fk n )~ c ‘-
On pose alors la formule
dans laquelle (f désigne- une fonction arbitraire dont la nature doit rester complètement indéterminée. Si à ce moment on revient aux conditions de la question en considé-
3a() LIVRE IV.
rant u comme une fonction des variables indépendantes
x, y, z , , la formule (109) fournit l'intégrale générale
de l’équatiôn jiroposée ( 1 o<> ) , comme je vais le faire voir;
270 . Celte relation peut être considérée, dans la nouvelle manière de voir, comme une conséquence des équ.ations simultanées (107). Car les Expression s Jf,, f,,. . f„ devant, d'après (108), cpbserver des valeurs invariables, ii en sera de même de toute fonction (f de ces quantités. Quant à cette valeur constante, il n'est pas besoin de la -spécifier, et on peut en la faisant passer dans le prémièr membre, et la confondant dans la fonction arbitraire <p, prendre,' comme nous l’avons fait, zéro pour second membre. Si donc la formule (109) est une conséquence du système (107), toute relation qu’on obtiendra en les combinant ensemble devra avoir lieu identiquement, entre les lettres qui y figurent. Or on- peut faire celte combinaison de la manière suivante. ~
Différentions l’équation (109) en la considérant toujours comme composée, avec x, y,' fonctions de «.On
aura( 5 , p. 33 ) J . \
— / do \ / fl y V de / p dy . / dy\ dz
\ du J \dx) rl 11 \ r/y ) rhi \ riz ) r/n
c'est-à-dire d’après (107)
. U lu ) ^ \rlx ) V ^ \rt y ) V \<i, J t;
ou encore, en mnltipliant pur C et divisant par I — ? ,
\rtüj
Actuellement tupi fiions I équation (.ioyl, et eonsidé-
CALCUL ltiTÉCIIAL. . .'I27
rons-y invers'cmenl u commcuue fonction de x,y, z,... On en tire, en différenciant successivement par rapport à chaque variable indépendante,
Ce système est équivalent à l’équation (iog), prise au véritable point de vue. Mais on peut, sans lui faire perdre ce caractère, le combiner avec la formule (i 10) qui, comine j’ai eu soin d’y insister, n’est qu’une identité. Cette substitution donne
et sous celte nouvelle forme il est facile de reconnaître la proposée (to6).
L’équation différentielle partielle et la formule (109) étant équivalentes, quand 011 considère dans celte dernière u comme une fonction de x, y, z,..., il s’ensuit quelle est bien l’intégrale cherchée. ■
