FONCTIONS DONNÉES PAK UNE ÉQUATION

27. Nous sommes actuellement en état de différentiel toute expression qui nous sera donnée immédiatement; mais il arrive souvent qu’une fonction y est liée à sa variable x par une équation non résolue. A la vérité, on peut toujours supposer la résolution effectuée pour rentrer dans les cas précédents. Mais les ressources de l’analyse ordinaire sont par le fait si restreintes à cet égard, qu’il y a lieu de chercher à tourner cette difficulté et à obtenir di-’ rectement la différentielle. ‘

' Désignons toujours par x la variable, par y la fonction appelée alors implicite, et donnons-nous leur relation sous la forme suivante, en réunissant tous les termes dans le premier membre

/(•*> jt)= o *

Si on envisage l’expression J en elle-même eL indépendamment de la condition qui l’égale ici à zéro, ce sera une fonction composée avec x et y qui est lui-même une fonction dex. A ce titre, elle a une différentielle que nous pouvons exprimer d’après le chapitre précédait (5, p. 33)

Mais daus le cas actuel on dojt avoir f— o, c'est-à-dire

CALCUL DIFFÉRENTIEL. - 4 l

que quand x vient à prcudre arbitrairement diverses râleurs, y doit y adapter en quelque sorte les siennes pour que y ne cesse pas d’être nulLe. Cette fonction ne reçoit donc aucun accroissement, et, par suite, sa différentielle est nulle

df— o ,

ou, d’après la valeur précédente,

dy

Celte équation que nous venons de déduire de la proposée, et qui peut en tenir lieu, résout pour nous la question/car dy s’y trouve en évidence et au premier degré. On en tire

•tr =

dx ,

et' les deux dérivées partielles | cl ( se calculeront

sans difficulté, puisque J nous est donnée immédiatement, tandis quej ne l’était pas.

28. L’expression de dy contiendra en général x, j et dx. 11 pourra, à cet égard, se présenter deux cas. Ou bien l’équation proposée est véritablement insoluble, et alors on ne pourra aller plus loin. Ou bien on sera en état de la résoudre, mais ou aura préféré s’en dispenser; attendu qu’une équation même simple peut introduire par sa résolution des expressions compliquées, de sorte qu’on aura meilleur marché à appliquer la méthode précédente qui n’exige que la différentiation de l'équation elle-même. Mais alors on pourra, la différentiation une fois cflerlnétv

résoudre après coup l'équation el en tirer la valeur de y pour la substituer dans l’expression obtenue. Celle-ci ne coutiendra plus alors que x et dx.

29 . Exemple !.. — Prenons' l’équation générale du second degré

Ay’-t-Bxr 4 - C.r 2 Dr 4- Ex F = o.

JNous posons, pour appliquer la méthode générale,

■ /( x >J r )= Ajr^ 4 -Bxy 4- C.r> 4- Dy 4- Ex 4 - F, et nous en lirons

t . (^j) =Br 4 - aCx-t- E, •

puis, en substituant,

B/ 4- aCx -t- E

Dans la pratique, on évite ces longueurs en eflecluant directement sur la relation proposée les calculs qui nous ont conduits à la formule générale, et qui consistent simplement à diflérentier l’équation en y considérant à la fois- X et y comme variables. On aura, en opérant ainsi,

2A/f/j' + Ii(x ily -y- /dx) ~j~ 2 Cxd.v 4- I)r/y 4 - E dx = o ,

"et, en groupant les ternies,

(aAy 4 - Bx -I- D )/// -i- (By 4 - aCx 4- E) dx — o;

d'où 011 lire de nouveau la valeur précédente.

Exemple II. — O11 n’a même. pas besoin, lorsque le second membre n’est pas nul, de tout réunir dans le premier.

CALCUL' DIFFÉRENTIEL. 4

Il suffit de différentiel 1 les deux membres. En effet, le second changerait de signe par cette transposition, ce signe se conserverait dans la dillérentialion et redeviendrait le même si on ramenait le résultat dans le second membre.

Comme exemple", je prendrai l’équation dite du folium

. ' ' . . ■ * * ty

de Descartes.

Dillérentiant,

d’où

3x’rfx iy'dy = 3 (x dy ■+■ y dx) ;

(Ijr — — dx.

Exemple III. — Considérons encore l’équation suivante, qui a été discutée par Euler, en prenant, commeon a coutume

de le faire pour la précédente, le rapport - comme variable auxiliaire

Dillérentiant,

y.xt-'.dx + x' Lxdy — r..y x ~'dy -t- y‘ Ly dx.

Si on divise membre à membre, il reste simplement

— dx -p Lxdy = - dy -f- L) dx ,

-- Ly

dy —

FONCTIONS DONNÉES l'Ail UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS.

üO. Une fonction peut être déterminée d’une manière encore plus indirecte, lorsqu’elle est engagée avec plusieurs

autres dans 'un système d'équations, non résolues. La question, qui était tout à l’heure d’éviter la résolution d’une équation, est maintenant de se passer de l'élimination de ce système pour trouver la ditlércutielle de la fonction que l’on a particulièrement en vue, et accessoirement celles des autres fonctions qui l’accompagnent.

Désignons toujours par x la variable, par y la fonction principale et par z, u, , iv ; n — 1 autres fonctions, ce qui donne en tout n -4- 1 quantités. Nous les supposons liées par n équations que je représente en abrégé par

f — o, /,~o, /, = o,.'.., /« = o, cl dont le type général sera

M-r.ijr, «>)=.0.* ■

Si 011 envisage en elles-mêmes et indépendamment des conditions précédentes les expressions J\, . . , f n , ce

sont des fonctions composées de X , car toutes les lettres qai y figurent représentent des fonctions de x. A ce titre, elles ont des différentielles df t , tlf , , . . . , rlj„, dont j'écris l’expression générale ( 5 ) . .

,lJ \ - (iür) dx + Cf ) Ay + (f) dz+ ■ + ('& ! d ^~ -

Mais les valeurs de or, y, te doivent se combiner de

manière que les n quantités f t , ne cessent pas

d’être nulles. Ces dernières ne reçoivent donc aucun accrois- •sement et leurs différentielles sont nulles.

De là un nouveau système de n équations que je représente en abrégé par

ll/i = o , <!/, — O, ft/'n :

, CAI CUL DIFFIÏRENTm.,

et qui tint pour forme générale '•

Ces équations, qui se déduisent des proposées, peuvent les remplacer et résolvent la question, car elles reufernietil les quantités r/j', dz c/te au nombre de n, comme les équations elles-inèmes. Ces inconnues entrant au premier degré, il sera toujours possible d’en trouvçr un système, de solutions et un seul (en réservant le cas des valeurs intinieset indéterminées auxquelles peinent donner lieu des choix particuliers de la variable). U serait même facile d’en écrire les expressions générales; mais ces formules ne nous seraient d’aucune utilité, car <yi doit toujours dans chaque cas opérer directement sur les équations proposées.

■tes valeurs trouvées renferment ordinairement, outre a et dx, les n quantités y, z ,.. ., te»$i le système est véritablement insoluble, on ne pourra aller plusloin ; mais si on a eu seulement en vue d’éviter de compliquer les expressions à dillérentier par une élimination supposée possible, on pourra l’effectuer après coup, substituer les valeurs de y, te,

et on aura alors les différentielles en fonction de x et dx seulement.

( •Trj'C, . . • t • ■