EXEMPLES PARTICULIERS

20. J’indiquerai maintenant quelques exemples çJans lesquels la nature même des fonctions composantes sera mise ,en évidence. Et pour simplifier l’application de la règle générale, je me servirai des résultats précédents Comme d’autant de théorèmes acquis.

E.xemple I. , — Soit d’abord

t — laog.r =

CALCUL DIFFÉRENTIEL

On aura en appliquant lés règles (25, IV et 10)

dy =

COS.* . <1 sin X — si» X . dcoix

cos .i‘

cos J. cosxcèr — si lia.' { — si ri X d.r) ros’x

cos’x'-t- si n’a: , de dx — — •

Exemi-le II. — Soit maintenant (2)

y =. arc tanga = arc sin ( ■■■■ - ■ ■ ■■»■ - ) ;

Vv'i-t-.ry

nous aurons d’abord par 1<1 règle des fonctions de fonctions (17.)

« Ay-

■(ira)

Puis par celle des tractions (25, IV’)

,1 1 ( x \ \J\ -f- x 3 dx — x . d\/i •+- .r’

• VV^'-d-a-'V {^l-t-xî) 7 -

>.xdx

V / 1 -f - X dx — X — —

2 V I d-jT 1 -,

(l -+- .r , )di .r’ dx dx

Le second facteur se îédrn’t, de son côté, de la manière sui-

vante :

VH-rb)’

De sorte qu’on a en délinitive

dx dx

dy -zz \J I + Jr’ -

(i -f-jr 1 )’

J’indiquerai encore une méthode directe, à cause de l’importance de cette fonction.* L’équation

y — arc tang x

donne, en prenant les tangentes des deux membres,-

* tang/ = *, • . . . .

et en ditlëreivtiiûit (26, 1)

d ^=dx S

cosjr

d’où

dy — cos *y . dx ~

dx

» -F tsuig'y i -+- x- Exemple III. — Soit encore (25, V) y — x 1 ,

. dy — x .x x ~'dx x x Lxdx = x^[Lx -f- i)dx.

CALCUL llIHUllltMIF.I..

Exemple IV. — Prenons culiii

y — sin’ .»■ -+- cos’x,

tiy = 2 sinx</sinx -+- 2 rosxrfcos:r

= 2sinx.cosxrfx 4- 2COS.I- . ( — sinx</x) = o. -

Ce résultat était facile à prévoir, car l’expression sin*X -+- cos*.!, étant égale à l’unité pour touLes les valeurs de x, ne reçoit aucun accroissement par la variation de x et a par suite une différentielle nulle.

C’est là un fait général, et lorsqu’une expression qui renferme en apparence une variable, en est au fond indépendante, sa diflérentielle prise par rapport à cette quantité est égale à zéro.

1,1 viie i.