DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES indêpendaNtés. .

32. 11 existe «les fonctions de plusieurs variables indépendantes, comme je vais le faire comprendre par «[iielqnes exemples.

On a coutume, dans la géométrie analytique de l’espace, de rapporter les points à trois axes, ordinairement rectangulaires, et de représenter une surface par une équation entre x,j, z. Il est clair, en effet, qu’on a là tout ce qu’il faut pour en connaître tous les points. Car si on prend h volonté une valeur pour x, on détermine ainsi un certain plan parallèle au planez qui contient le point cherché. Si on se donne ensuitejÿ, on obtient dans ce plan une droite parallèle à l’axe des Z qui renferme encore ce point. El rien dans le choix de la valeur de x ne préjuge celui de y, car on p<‘ut dans tout plan parallèle aux yz : prendre des droites verticales à toutes distances du plan x z. Mais cela fait, on n’est plus maître de se donner la valeur de z. C’est l’équation qui l’assigne et qui apprend à quelle hauteur cette droite perce la surface. On a donc là une fonction s de deux variables absolument indépendantes l’une de l’autre, T et Y. r

Imaginons, on second lieu» un liquide en équilibre-, il s'exercera etr chacun de ses points une pression p variable de l’un 'a ’ l'autre, et l’état de ce liquide sera représenté j>ar une équation entre x, -y, z, p. En effet, pour déterminer tin point à volonté, on prendra d’abord x et y, indépendamment 1 un de l’autre, comme on vient de le voir. El il faudia encore se donticr arbitrairement 2 , car la .verticale. Fournie parles valeurs de.r et y traverse la masse liquide sur une étendue finie, dans laquelle il faut encore "préciser le point où l’on veut évaluer la pression. L’équation fera alors connaître la valeur p de cette pression. De là un exemple d’une fonction p de trois variables indépendantes a - , y. z - .

Supposons enfin un corps solide inégalement chauffé dans toutes ses parties, et cherchons à apprécier la tenrpérature de chaque point à chaque instant. 11 -suffira, pour cela, d’une équation entre les trois coordonnées x,y, z, le temps t rapporté à une certaine origine et la température 0. En effet, pour préciser le point dont on s’occupe en particulier, il fàudra, comme tout à l’heure, assigner des valeut s indépendantes à x, y,' z. Mai's comme ce point s échauffe ou. se refroidit, il faut encore indiquer à quel instant se -

fait la mesure ou donner à t une valeur dont on reste, bien

entendu, le maître, quelles que soientcclles que l’on a atlribuées'anx coordonnées. A ce moment, l’équation fait connaître la valeur de 0. On- a ainsi un exemple d’une fonction 0 de quatre variable^ indépendantes x , y , z. t.

Sans insister davantage, ori voit qu’il y a lieu dè considérer des fonctions d’un nombre quelconque de variables indépendantes. iNous allons lions proposer d’en chercher la différentielle, c’est-à-dire comme précédemment l'accroissement imparfait ou débarrassé des infiniment petits ■d’ordre supérieur, lorsque les variables indépendantes reçoivent elles-mêmes des accroissements infiniment petits,

CALCUL UIFFÊRBWTIKI,.

qui sont arbitraires et indépendants comme les variables elles-mêmes.