FONCTIONS EXPLICITES

• «13. Soit il une fonction d un nombre quelconque de

variables indépendantes x, y. ", Te la supposé donnée

immédiatement sous la forme

Imaginons une variable auxiliaire t qui pour plus de clarté ne soit aucune de celles de la question. Puis établissons par la pensée des relations entre x et t, y et t, z et t, etc. Par là x, y, z,... deviennent des fonctions d’une seule variable t: et malgré cela, leur indépendance ne sera pas détruite si nous avons soin de laisser dans le vague et complètement indéterminées les relations hypothétiques que nous avons établies. Par là aussi u devient une fonction composée dot, et comme telle aura pour différentielle l’ex-< pression suivante (f>): .

Ce qui resterait à faire, si nous voulions rendre définitivement x , r. z,..., fonctions de f, consisterait à tirer des relations établies dx , dy, dz,... en ! et dt, et les substituer dans cette formule. Mais c’est ce que nous devons bien nous garder de faire, car préciser ces équations serait lier ensemble x, r, z ,. . . ou détruire leur indépendance qu'il est nécessaire de conserver. 11 faut, au contraire, considérer que ces relations, devant rester quelconques, laissent indéterminées les valeurs qu'on eu tirerait

pour dx, dy, dz,.... Gcs quantités figureront ainsi dans

la formule, comme cela devait être, à titre de quantités arbitraires. ., .

34. La formule de la différentiation des fonctions de plusieurs variables se trouve au moyen de cet artifice établie sans aucun calcul ; et au premier abord elle paraît complètement identique à celle de la différentiation des fonctions coriiposées (5). 11 y a cependant entre elles une différence profonde, qu’il est essentiel de faire ressortir.

Dans la formule des fonctions composées tous les termes sont indispensables, car ils sont relatifs à des fonctions d’une seule variable qui varient forcément toutes à la fois. Omettre un seul de ces termes , serait négliger une quantité devant d’autres du même ordre et fausser complètement le calcul.

Il en est tout autrement pour la formule des fonctions de plusieurs variables. Les facteurs dx, dj, ds , ... y sont arbitraires et on reste maître, si l’on veut, d’en prendre Tin certain nombre rigoureusement "égaux à zéro, en donnant aux autres des valeurs infiniment petites. Cela revient à ne faire varier qu’une partie des variables, en conservant aux autres leurs valeurs actuelles; et cela est permis, puisque ces quantités sont à notre disposition et que ce qui a lieu pour l’une ne préjuge rien pour le reste. On n’esl doqe pas obligé de prendre tous les termes de cette formule, et on peut conserver les uns et supprimer les autres tout à fait comme on l'entend.

Il est inutile d’avertir qu’on n’obtient pas par là toujours le même accroissement pour u. A cet égard il existe des dénominations qu il faut faire connaître. Quand on conserve tous les termes, on a la différentielle totale , eliln’eir existe qu’une seule. Si on ne prend qu’un seul terme, on obtient la différentielle partielle relative à la lettre qui y figure : il y en a autant que de variables. Enfin quand

CALCUL DIFFÉRENTIEL. 5l

on ne prend ni tous les termes, ni un seul, mais un nombre quelconque, on trouve des différentielles plus ou moins particulières , dont je ne m’arrête pas à préciser le nombre.

35. Exemple. — Appliquons ce qui précède à la fonction du second degré de troirf variables,

# = Ai’4- A'/ 1 -4- A"z* -+■ Bj/ B'xz 4- B"yz -I- C x + CS' -4- C' z -f- D .

Ou trouve successivement

= 2 Ax -f- B r -4- B r z -f- C,

et, en substituant,

du — ( 2 A x 4 - B r -4- B' z 4- C ) dx • 4 - ( 2 AV -4- Bx -4- B"z -I- C' ) dy -4- ( 2 A":+B'x -I- B "y -4- C')dz.

On évite encore ces longueurs en différentiant directement par rapport à toutes les variables à la fois, de la manière suivante :

du = ikxdx -I- 2 A’ydy -h 2 A "zdz

-h B [xdy 4- ydx) -f- B' ( xdz -H zdx) + B " {ydz + zdy) *

-f- C dx -4- Cl dy -4- C "dz.

Si on groupe maintenant les termes, on retrouve la même expression .

§ ni.