FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE. - DÉFINITIONS ET NOTATIONS

40. La différentielle d’une fonction est aussi une fonction, et à ce titre elle admet elle-même une différentielle, qu’on appelle la différentielle seconde de la proposée. Celle-ci en a une à son tour qui forme la différentielle troisième, et ainsi de suite indéfiniment.

I.a> différentielle étant, en général, infiniment petite par rapport à sa fonction primitive, la différentielle seconde le sera relativement à la première et formera par suite un infiniment petit du second ordre. F.l généralement une différentielle de l'ordre « sera un infiniment petit du môme ordre.

41 . Désignons par y une fonction de x. Si on donne à la variable un accroissement dx , y reçoit l’accroissement imparfait dy qui dépend lui-même de x. Si x subit maintenant un nouvel accroissement quelconque dx dy en recevra un qui sera naturellement désigné par d(dy).

Rien n’oblige à donner. deux fois de suite à x le même accroissement, ear son mode de variation reste à notre disposition ; mais par cela même il y a lieu d’en disposer pour obtenir la plus grande simplicité possible, et pour cela de faire varier x encore de la même quantité dx. Dans cette hypothèse, toute de convention, mais universellement adoptée, la différentielle seconde se désigne par d’y.

CALCUL DIFFÉRENTIEL- 5

Pour obtenir la troisième, nous donnerons encore à x

l'accroissement dx en renouvelant la même convention, et

nous l’écrirons d % y. Généralement nous désignerons par

d"y la n‘ ime différentielle dey, en convenant que la variable

indépendante x varie constamment par degrés égaux.

ou encore que sa différentielle dx sera traitée comme une

constante, ou enfin que ses différentielles d’ordre supérieur m

à commencer par la seconde d* x sont toutes nulles.

42. La notion des dérivées .s'adapte facilement à ce genre d’opérations. La dérivée d’une fonction est en effet aussi une . fonction, et à ce titre elle admet elle-même une dérivée qu’on appelle la dérivée seconde de la proposée. On introduit de même la dérivée troisième, et généralement des dérivées de tous les ordres.

Nous avons désigné par f ( x\ à l’aide d’un accent la dérivée de f(x). D'après cela, il sera tout naturel de représenter par J "(x) la dérivée de f'(x) et par J" , (x) ) f iv ( x ),. . . y 1 ") (a?). . ., les dérivées troisième, quatrième et d’ordre n de la fonction f(x).

■ 43. Mais dès que nous introduisons deux notations différentes pour désigner une seule et même chose, il devient nécessaire d’en connaître la correspondance.

Or nous la possédons, pour le premier ordre, d’après l’équation (i, p. 14 )

djr=f'{x)(Lc.

On en tire en différeuliant (24)

d'y = dx .df (x) -f* f \ x ) d' x.

Le second terme disparait en raison de la convention établie. Quant à df' Ix), elle s’exprime d’après 1 équation même (i) au moyen du produit de la dérivée J" ( x ) par dx.