Supposons, pour former le cas le plus général de la

différentiation, m quantités,

entre lesquelles il existe un nombre moindre n de relations, f\ “ O, fi = O, f = O, , f n — O, dont le type général sera

On peut considérer n de ces quantités,

comme des fonctions implicites des m — n autres, x,y, z,

traitées elles-mêmes comme variables indépendantes. Si donc nous nous donnons les m — n différentielles arbitraires

. dx, dy, dz,..

nous pouvons nous proposer de déterminer les n différentielles totales,

. . . , du, dv, dw.

Pour cela, nous lierons à t, d’une manière indéterminée, x,y , z,..., et par suite,..., u, v, w. Alors fu /*,••• tjm Considérées en elles-mêmes, auroutdes différentielles, dj \ , df t , . . . , df n . Mais celles-ci doivent être nulles puisque J\ , f t ,. . ne cessent pas de l’être elles-mêmes. Donc on ' peut remplacer le système proposé par le suivant,

df, = o, df, = o, df,= o, .... df — o,

dans lequel chaque équation est de la forme v -

^ CAI CUL piI FÉHENTIKL. .'K>

Ces n équations sont du premier degré par rapport aux n inconnues, . . . , du, dv , d\v, et permettront toujours de leur trouver un système de valeurs et un seul*

Ces solutions renfermeront, eu général, ti, v, iv, . outrent, y, z.:., et dr, dy, dz,.... On les conservera, ou en aura la faculté de les faire disparaître, suivant que le système proposé sera ou non insoluble.

39. Exemple. — • Appliquons cette méthode au système suivant,

sin.r 4- sin^ 4- sin h -t-.sin <> — in, cos z 4- cos .y 4- cos i{ 4- cos » — n.

11 vient, parla différentiation,

cos xd.r a- cos ydy 4- cos nr/u 4- cos vdv = o,

— sin xdx — sin ydy — sin udit — sin vdv — o.

Pour chasser dv, je multiplie par sin e, cos v, et j’ajoute. Si je forme à part le, coefficient de l’une des différentielles, dx par exemple, il sera

sin pcosr — sin.r cos v — sin («> — x).

On peut donc écrire simplement

sin(v — sin {'• — y) dy 4-sin(r — u)du — o ,

d’on on tire

' du

■' , sin ( i> — y)

— d.r-y- - —[ dy.

sin (« — i>) . sin (/< — c)

Pour obtenir dv, il suffit, en se fondant sur la symétrie des équations, de changer réciproquement u cl v. Il vientpar là

sin (« — -cl . sin ( u — r dv — — \ dx 4- -T—:- — dv.

sin ( v — «■)

LlVtlE I.