FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE: - DIFFÉRENTIATION
44. Fondions explicites. — Il n’y a poür les fonctions explicites aucune règle nouvelle à donner. On n’éprouvera jamais de difficulté à différentier successivement le résultat obtenu chaque fois.*
Dans certains cas particuliers, on peut saisir la loi de formation des différentielles successives, de manière à envisager de suite un ordre quelconque. J’en vais donner quelques exemples qui nous seront utiles plus -lard.
Exemple I.’— Si on prend
on a d’abord (14)
la fonction se conservant sans altération, à chaque opéra-
CALCUL DIFFÉRENTIEL
lion, on aura toujours
tlx J
Exemple II. — Pour une exponentielle quelconque
on a (18, III)
«Cr XT
— = m* Lm.
La fonction se conserve celte fois, sauf le facteur constant Lm. On aura, par suite,
rfx*
Exemple 111. — On a trouvé pour le sinus (15) y = sin x ,
. . g = c °s*=sin^ + ^).
Le sinus se conserve, sauf l’addition d’un quadrant à l'arc, ce qui ne change pas la dérivée de l’arc lui-mèine qui reste -égale à l'unité. Par suite, bien que le siijus soit devenu fonction de fonction, chaque différentiation reviendra -à
l’addition d’u^ quadrant, et on aura, en général,
rl n r . l ni r \
di" ~ stn
Exemple I\ . — On trouve absolument de même (19) y = cosx, '
/ nir\
■-= co s \jc -I
tly
— = — smx = cos I jc rlx 1
dje"
LivnE
Exemple V. — La ditlércnliation delà puissance (13)
revient à multiplier par l’exposant constant et le diminuer d’une unité, • :•
<ly
dx
Après u différentiations, l’exposant se sera donc abaissé de n unités, et toutes ses valeurs intermédiaires entreront en facteurs successifs sous la forme
Cette formule est complètement générale.
Dans le cas particulier où m est entier et positif, elle donne pour la dérivée d’un ordre égal à l'exposant d n y
valeur constante. Toute4 les dérivées -d'ordre supérieur seront par suite nulles. Ainsi le monôme, et, par suite, le polynôme entier et rationnel, présentent cette propriété Caractéristique, d’avoir un nombre fini et égal à leur degré de dérivées. La dernière est constante et égale au produit des nombres consécutifs jusqu’à ce degré, multiplié en outre, s’il y a lieu, par le coefficient du monôme ‘ou du premier terme du polynôme.
Exemple VI. — Soit enfin (14)
y — Lj- ,
dy i
et, par suite.
dx’
d“—' (x~‘) dx n ~'
CAI. CIJL DIFFÉRENTIEL. # 6 t
Il suffit dune d’appliquer la formule précédente en faisant ni = — i et changeant n en n — i .
On trouve d’abord, en faisant abstraction du signe qui change à chaque différentiation,
■ ax“
ce qùé j’écrirai ainsi :
j dx" ( — x)" ' ÿ
En effet, le signe sera alterné comme il doit l’être par les puissances d’une quantité négative ; en outre, le signe négatif, qui est mis en évidence, a pour effet de réduire l’expression à celui qu’elle doit avoir pour la première dérivée, èt, par suite, pour toutes les autres.
4o. Fondions données par une équation. — Il suffit pour traiter Ce cas d’appliquer plusieurs fois de- suite la mé- i thode qui s’v rapporte (27).
Ayant une équation entre x et y, on la différentie et on en obtient une autre du premier degré en dy'. On l’en déduit en x,y et dx. On différentie de nouveau^ ce qui fournit une relation .où figurera d 'y. Elle sera du premier degré, puisque dy , d’où provient par la différentiation d'y, entrait lui-mème au premier degré. Quant à d'x, il ne s’y trouvera pas, d’après la convention fondamentale. On tirera donc de là d'y en x, y, dx, dy, et comme on vient d’évaluer dy, on pourra le substituer et ne conserver que x, y eldx. Différentiant encore, on aura une relation du premier degré en d'y qui en fournira la valeur en x, y, dx, dy, d'y, et comme on vient de calculer dy et d'y en x, y et dx seulement ; et ainsi de suite.
Dans les cas particuliers où l’équation proposée sera
résoluble, on pourra ultérieurement en tirer y, et les différentielles seront- exprimées en x et dx seulement.
