MÉTHODES D'INTÉGRATION

INTÉGRATION DIRECTK.

183. Toute question nouvelle qui se présente en mathé- " matiques donne lieu au problème inverse, dans lequel on se propose de remonter du résultat aux quantités qui lui ont donné naissance. Nous avons résolu complètement le problème de la différentiation ou de la recherche de la dérivée d’une fonction quelconque. Nous nous proposerons donc maintenant, une expression étant donnée, de trouver celle qui la reproduit par sa différentiation.

La fonction inconnue dont on a la dérivée f (x) s’appelle Y intégrale de cette fonction. On l’exprime par le signe

qu’on- énonce intégrale def(x) dx. Sa recherche constitue le problème de Y intégration et forme l’objet du calcul intégral.

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184. La question n’est pas complètement déterminée, en ce sens que plusieurs fonctions peuvent avoir la même dérivée. Mais elles présentent un caractère commun qu’il est facile d’assigner. Considérons, en effet v deux pareilles expressions, la différence de leurs différentielles sera zéro. "Mais c’est aussi la différentielle de leur différence; et lorsqu’une quantité a pour différentielle zéro, elle ne reçoit aucun accroissement et reste constante. Les deux fonctions ne peuvent donc différer que par une constante, dont la valeur reste d’ailleurs quelconque.

Il suffit, par suite, de trouver une seule intégrale pour que toutes les autres s’en déduisent. La plus simple est celle qui est débarrassée de tous les termes constants qui s’y ajoutent. On l’appelle Y intégrale sans constante. LV/itègrale générale s’en déduit par l’addition d’une constante arbitraire que nous désignerons par C.

La recherche de l’intégrale sans constante est loin de se faire d’après des règles sures et précises comme la différentiation. Elle ne consiste guère qu’en des tâtonnements que l'habitude surtout enseigneà diriger convenablement. levais * cherchera mettre en relief les idées principales que l’on peut suivre pour arriver au but. Lorsque le résultat est atteint, il est toujours facile de le contrôler par la différentiation.

185. Premier principe. — Il est d’abord nécessaire d’avoir un point de départ pour notre recherche. Nous le prendrons dans le calcul différentiel, en renversant simplement la notation d’un certain nombre de formules de différentiation.

Exemples.

. i— àjc C i~ „

d yjr = | — V^-f-C.

2 yx J 2 \jx , 4

de 1 — e* dx , Çe*dx ~ r* -|- C .

CALCUL INTÉGRAL.' . N, dx

d Lx = — ,

l'ïi

(72) tl /. x = — , 1 — = i.v-t-C.

(.73) f/iin jc = cos.r.tb:, J' cos -r.rf.r = sin.^-+- C.

rfros.r = — sin x.d.r, j'sinx.dx = — cos x -4- C.

. rlx r dx

(74) f/tang.r = — — , | — - = tang .r -f- C. . •

. cos’a- / cos'.r

(75) rfcntjr= — -T-—Î f -7 — ■ — === — cotx-(-C.

' sin** ^ sin'.r / .

. 'rlx T d.r .

(76) fl arc sin x = — ==— - * J ~-^~=x'= arc sin X 4. C.

v 1 — •»-’ Jyi-iy

, , '■ dx f rlx

4 *7 *7 ) • rfarc tang a: = — , I — - = arc tang.r -f-C.

0 n poürrait prolonger Indéfiniment ce tableau, mais il ost ejair que l’on n’aurait par là aucune chance de tomber sur une expression proposée. Il n’y a donc pas là véritablement une méthode de recherche. '

186 . Deuxième principe. — Lorsqu’une expression ne rentre pas immédiatement dans les types intégrables dont je viens de présenter les plus importants, on peut chercher à y démêler une de ces formes en la faisant porter non sur jr lui-même, mais sur une fonction de x~ • .

•Exemples. . . ...

C xdx C dtnr-bx ’) , , .

| ... ., — 1 v — =t//H -t-.r’-t-C, dapres(7o).

,/ y nr 4- x" J •>. \Jiti -f- x 1 - •

lcolx.dx= f = /.sinx 4- C, d'après^a). -

■J J s,nr ■ ■ . ,

J" tang* ,dx=J'— — — L cosar + C, d'après (72).

"*■ èTV'îjî, ■ ,

i£±.’,JyLL ■.