J SI II ‘T I

2 sm — cos - 2 2

/ ( l tang -

Oang-

= L lang- -t-C, d’après (72).

188. Deuxième principe. — Un moyen fort utile de simplification est fondé sur celte formule de calcul différentiel -, -

- d {me) rr mdu, ; ‘

, Pigilizedtfy tj.oogLe'

CALCUL 1NTÊGHAL. 327

ijui donne, en renversant la notation; ,

J" mdu =; mu =s m J du-,

ce qu’on exprime en disant qu'on peut faire sortir les facteurs constants du signe d'intégration. On pourra ainsi débarrasser une expression de tous ses coefficients, ce qui la simplifiera souvent d’une manière notable. Il est inutile de prendre des exemples.

Troisième principe. — On peut aussi profiter de cette remarque d’une manière inverse pour introduire' des facteurs absents qui complètent un type intégrable. Il est nécessaire pour ne rien changer d’introduire en même temps les facteurs inverses, mais on le fait en, dehors du signe d’intégration et l’opération devient par là possible.

Exemples.

j'r^dx = — j' è*“

^ j cos mx.cLr = — J' -os ni.r .d ( m.r

d[mx)=~ h C, d’après(7i}.

d’après (73).

d’après(77).

Cettedernièrc formule, fort importante, a lieu pour toutes ■ -7

les valeurs de m, entières ou fractionnaires,, positives ou:

négatives, excepté toutefois pour m = — i . L’intégrale est alors fournie par la formule ( 7 a). *.

189. Quatrième principe. — Lorsque ces moyens de transformation ne suffisent pas, on a recours à un autre plus puissant, en changeant nettement de variables. On pose pour cela

. en déterminant <f d’après des vues particulières à chaque cas, pour lesquelles il est impossible d'assigner des règles générales. On en tire

dx = n'(y)dy,

ff(x)tlx = ff[l(y)].'?'(jr).djr.

Si la fonction <p a été bien choisie, il peut arriver que cette expression soit plus simple que la proposée, et qu.’bn sache l’intégrer sous la forme F (y). On résoudra alors la. première équation par l'apport à y

et l’intégrale cherchée sera

ff(.r)dx = F[^(.r)] + C.

190. J’indiquerai comme application une méthode qui permet d’iniégrer les expressions où x ligure d’une manière rationnelle, sauf un seul radical de la forme

- . \Jm -t- nx -+- .r 1 ,

qui peut y entrer du reste un nombre quelconque de fois, s H nous suffira de rendre la fonction complètement rationne, car nous rencontrerons bientôt un procédé général applicable à cette sorte de fonctions (195).

CALCUL INTÉGRAL

Nous poserons pour cela (84 ) yV/i -+- nx x* == y — .r .

Si on élève au carré, x * disparaît et il reste m + nx=y ' — 2 xy,

. v ndx — iydy — 2 xtly — 2 ydx-,

on en tire

y' — ni

dx=± y^zf.

dy, .

le radical et clx sont ainsi exprimés rationnellement euy et x, et comme x l’est lui-même en y, le résultat est atteint. Après l'intégration il n’y aura plus qu’à remplacer y par sa valeur ' • *

y = x -f- -+- nx ■+■ x ’.

Exemple. — Considérons l’intégrale .

dx

y//» -f- nx -f- x'

d’après les formules (84) et (85) elle prend la forme (yS)

ou, en remplaçant j' - par sa valeur,

I i,. == = L (x -4- - + \Jm n e 4- .r’\ -f- C.

J ym-t-nx+x' \ 2 /