En partant de Téquation ci-dessus

qui renferme non-seulement toutes les courbes algébriques, maïs encore toutes celles dont les termes ont des degrés déterminés par rapport à j; et j^, on arrive à une propriété remarquable des asymptotes, qui consiste en ce qu'elles peuvent être considérées comme limites des tangentes à la branche de courbe à laquelle elles se rapportent.

Nous pouvons supposer à Taxe desj^ une direction arbi-

traire, et alors - tendra vers une limite finie k qui sera ra-

cine de Téquation

Cela posé, soit ^{^-ij) le premier membre de l'équa-

tion (i), on aura

f^ — ?'(^) dx çp'(j)'

,'(.)==-5[.»F'(j)-t-x"/'(j)-t-...] d'où Ton tire

Or, si Ton fait croître x indéfiniment, F ( - ) tendra vers zéro, et Téquation (2) donnera

(3) lim -^ =r lim ^ .

X dx

Ainsi d*abord, lorsqu'une branche de courbe a une asymptote, sa direction est la limite de celles des tangentes à cette même branche.

Cherchons mainteuant la limite du point où la tangente

rencontre Taxe des^, et dont l'ordonnée est j^ — "^ T" L'équation (2) donne

^■(S)-îi-./'(S)--

Supposons d'abord nz=^m — i, ou n<Cm — i, auquel

cas la branche de courbe aura une asymptote; on aura alors

\.vj J? \.r/

Or cette expression peut être simplifiée au moyen de l'équation (i). En effet, en divisant cette dernière par x^'^ et supposant d'abord n = m — i , on obtient, en faisant croître X indéfiniment,

L'équation (5) donne ainsi

et, par suite,

^'""V dx]- F^/)'

donc la tangente coupe Taxe des j en un point dont la limite coïncide avec celui où ce même axe est coupé par l'asymptote.

Si Ton avait n<^m — i , la fonction y n'existerait pas, et l'on trouverait

L'asymptote et la limite des tangentes passeraient alors par l'origine.

Supposons eufin n^ m — i , alors la branche de courbe infinie n'a pas d'asymptote. Faisons n=-m — i + J^ l'é-

quation (i), divisée par x", donnera

Iim[.-Fg)-^/(^)]=o;

et, en introduisant cette condition dans Téquation (4), on trouvera que y — -^ ^ deviendra infini avec x^ et, par conséquent, qu'il n'y a pas de limite pour le point de rencontre de la tangente avec Taxe des y.

On arrivera donc, dans tous les cas, au même résultat, soit en cherchant Fasymptote d'une branche infinie, soit en cherchant la limite des tangentes.

Mais il faut bien remarquer que nous entendons ici, par limite des tangentes, la droite qui, menée sous l'inclinaison limite, coupe l'un des axes, celui des y par exemple, au point limite où cet axe est coupé par la tangente variable. Ce ne serait pas déterminer une droite que de dire simplement qu'elle est la limite d'une droite mobile qui ne reste pas toujours parallèle à elle-même. En effet, cette droite est située de la même manière par rapport à des droites parallèles entre elles, quoiqu'elle les coupe en des points qui peuvent être fort éloignés les uns des autres •, et si elle s'approche indéfiniment de l'une de ces parallèles, elle s'approche également des autres^ à partir des points respectifs où elle les coupe.

La démonstration que nous venons de donner se déduit si simplement de la forme de l'équation (i), pour laquelle nous avions calculé l'équation générale des asymptotes, que nous avons cru ne pas devoir l'omettre. Mais précisément parce qu elle est fondée sur cette forme, elle n'a pas toute la généralité qu'on pourrait désirer, et nous allons traiter la question, indépendamment de toute forme particulière d'équation.