Une asymptote est, en général, la limite des tan

gentes. — Considérons une branche infinie de courbe quelconque ayant une asymptote AX {fig* 87) •, cette courbe n'étant pas donnée par une équation, il est nécessaire d'en connaître certaines conditions géométriques bien déterminées, sur lesquelles le raisonnement puisse se fonder. Nous admettrons, comme seule définition de cette courbe, qu'eUe est telle que, depuis un certain point B jusqu'à l'infini, ses points aillent constamment en s'approcbant de AX, et que l'inclinaison de sa tangente sur AX varie toujours dans le même sens. Il est d'abord évident que depuis le point 6 la courbe est convexe vers AX : car la tangente en un point quelconque rencontrera AX au delà de son point de contact, puisque les distancés à AX vont en diminuant de ce côté \ si donc la courbe était concave vers AX et, par suite, comprise entre AX et sa tangente, elle couperait AX, ce qui est contre l'hypothèse.

Cela posé, menons une droite fixe quelconque AY^ prenons sur cette droite un point P plus rapproché de AX que ne l'est le point B, et menons la droite indéfinie PU parallèle à AX. Elle coupera nécessairement la courbe en un seul point M, qui sera d'autant plus éloigné de AY que AP sera plus petit.

Si maintenant on joint le point P successivement aux différents points de la courbe situés au delà de M, cette droite coupera nécessairement AX, et, par conséquent, rencontrera auparavant la courbe en un second point. Cette sécante, tournant continuellement autour de P, deviendra tangente dans une position unique PQ, et le point de contact N sera au delà de M. Or les tangentes aux points situés au delà de N couperont nécessairement PQ entre N et Q, et AX au delà de Q^ elles couperont donc AY entre A et P, et, comme PA peut être supposé aussi petit que l'on voudra, il s'ensuit que les tangentes à la courbe couperont AY en des points qui iront constamment en s'approchant de A, et que

leur distance à ce point a pour limite zéro. Comme d'ailleurs r angle qu elles font avec AX a zéro pour limite, on peut énoncer la proposition suivante, qu'il faut entendre ayec les restrictions indiquées ci-dessus :

Lorsquune branche infinie a une asymptote, les tangentes à cette branche coupent une droite fi^e non parallèle à l'asymptote, en des points qui ont une limite à mesure que le point de contact s* éloigne indéfiniment; leur direction a de même une limite, et si l'on mène par le point limite une droite dans cette dernière direction, elle coïncidera ai/ec l'asymptote.

246. Si les conditions géométriques que nous avons admises n'existaient pas, il serait possible que la branclie de courbe eût une asymptote, et que les tangentes n'eussent pas de limite.

En effet, si l'inclinaison de la courbe ne variait pas toujours dans le même sens, les tangentes aux points situés au delà de N pourraient pas couper PQ entre P et Q, et, par suite, AY entre P et A ; rien ne prouverait alors que leur point de rencontre avec AY aurait une limite, et il est même facile de trouver des cas où cela n'a pas lieu.

Soit, par exemple, l'équation

a -+- sin.i?

m étant positif et a^i. La courbe est tout entière au-dessus de l'axe des X] de plus, elle s'en approche indéfiniment, et, par conséquent, cet axe en est une asymptote. Cher cliOQS maintenant le point où la tangente coupe l'axe des j^.

Son ordonnée j^ — x-^-slIb. même limite que — ^ -r-y puis

que l'ordonnée j^ du point de contact tend vers zéro^ mais

35o LIVRE II.

on a

flf m(a -h sin x )