I -f- -^^" da

EXEMPLES

ElUpse et hyperbole. — Si Ton applique toutes ces formules à Tellipse et à l'hyperbole, renfermées dans l'équation

on trouvera les résultats suivants :

a^y {j j') ± b^x'{x — x') = o ou }, équation de la tangente,

b^a/ (y — y')z:çLà^y' [x — x') = o\ équation de la normale;

Parabote. — Si Ton considère la parabole ayant pour équation j^* = apx, on trouvera

ou >9 équation de la tangente;

yy =p{' + ^) )

y — J^== (j^ — x'), équation de la normale,

Logarithmique, — Considérons maintenant la logarith-

inique ayant pour équation j> = al ~; a et //i sont des li-

^es données, et les logarithmes sont relatifs à la ba«e de ^eper, ce qui ne diminue en rien la généralité de Téqua*

334 LIYHE II*

tion. On aura, dans ce cas,

dr a

dx a:' y ^ y =i^(x — 0?'), équation de la tangente;

X — ^'= {^ — ^')» équation de la normale ;

Si Ton prend la sou$-tangente et la sous-normale sur Taxe des y au lieu de Taxe des jc, elles auront pour expression la valeur de j^ — j' relative à j: =-• o.

On tioiivera ainsi

Cjcloïde, — Considérons encore la cjcloïde, qui jouit de plusieurs propriétés très-remarquables.

Elle est engendrée, comme nous Tavons vu, par un point de la circonférence d'un cercle qui roule, sans glisser, sur une droite indéfinie à laquelle il est tangent. Elle se compose d'une infinité de branches superposables, ayant chacune pour base une partie de la droite, égale à la circonférence du cercle mobile.

Prenons la droite donnée pour axe des x^ et l'origine en un quelconque des points où elle est rencontrée par la courbe. Soient B {Jig^ 85) le point de contact du cercle générateur avec l'axe des x, et l'arc MB égal à AB; le point M appartiendra à la cycloïde. Désignons par o) l'angle MOB qui pourra prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à di 30 ; il est facile d'établir les équations suivantes, dans lesquelles

a désigne le rayon du cercle :

x:=.a[fù — sinu], jz=:za[\ — cosga).

Ces équations ont lieu dans toute l'étendue de la courbe. L'équation entre xy sera

x=ia arc cos '■ ^^ajr — y^y

mais il faudra avoir soin de changer alternativement le signe du radical dans les deux moitiés de chacune des branches successives. Difiërentiant ces équations, on aura

dx-=z a[\ — cosu) dtù =ydùiy dy=za sin» d!»,

dy /^.a

y — y' = i / —^ [x — x'), équation de la tangente;

y — j' = — i / j [x — ^'), équation de la normale;

La valeur de S„ ou de ff prouve que la ligne MB est la normale, et, par suite, que la tangente est MG.

Formules analogues en coordonnées polaires.

240. Soit Téquation F (9, r) = o entre les coordonnées polaires S et r d'une courbe à laquelle on veut mener la tangente au point M [fig- 86). Nous avons déjà vu com-

meut on détermine Fangle fi que faît cette tangente avec le rayon vecteur OM; le triangle KMN donne

KM __ sinN KN """sinKMN'

d'où, en passant aux limites,

rdB r

-5;r = tang^--7^

[dOl

La sous-tangente et la sous-normale se rapportent à la perpendiculaire au rayon vecteur, menée par le pôle. On troiL — vera immédiatement les formules suivantes :

r' dr

dB

S. = rtangf.= ~, S„ = -,

Exemples, — 1** Soit d'abord la spirale d'Archimède :

On voit que la sous-normale est constante et que la courba- -> tangente à Taxe, au pôle, tend de plus en plus à être per — pendiculaire au rayon vecteur.

Soit maintenant Téquation / = - de la spirale hyperbc^ —

lique

— =— -, tangpnr — 9, St= — a.

Ainsi, dans cette courbe, c'est la sous-tangente qui e ^^ constante.

a° Considérons encore la spirale logarithmique dont Téqnation est

tanga = — » b/ = — ? o» = wr,

La valeur de tang f* montre que le rayon vecteur est toujours également incliné sur la tangente.

Les valeurs de S, et S„ prouvent que les extrémités de la normale et de la tangente décrivent des spirales identiques avec la première, et scmblablement situées par rapport à des axes diflérents passant par le même pôle.

Les mêmes formules s'appliquent très-simplement aux sections coniques.

Calcul inf.D.^lê î?2

34o riVRE II.

Q étant compris entre zéro et 4- 1 ^ on a donc

ou

Si m = /H-i, x= co donnera pour limite de f , c*esl-àdîre pour la valeur de /,

Si m > 71 4- 1 7 on a

Si m <^ 71 + 1 , * n'a pas de limite, et il n'y a pas d*asymr ptotepour cette valeur de k. Ainsi, en général, l'équation de

l'asymptote sera j^ = kx — /. .? f[k) se rapportant aux

termes de degré m — i , et devenant nulle si 7i <^ m — i : il n'y a pas d'asymptote sxn^m — i .

Si 71 <^ m — I , Téquation de l'asymptote est de la forme j — kx = o.

Si, dans le cas de n = m — i , la valeur de k tirée de Y (k) = o satisfaisait' aux équations F'(Ar) = o, /*(/:) =o, l'équation de l'asymptote deviendrait indéterminée, et ron ne pourrait en tirer l'équation cherchée, parce que le terme en oc^"^ devient du même ordre que les deux premiers, et ne peut plus être négligé.

Dans ce cas, l'équation qui détermine la limite de t se mettrait sous cette forme :

F" ( A- + e ^ W X— » tf (k -f- e. ^-\

ar»»-* ? { ■" 1 étant le troisième terme de réquation proposée.

Divisant par af* et passant à la limite, / sera déterminée par l'équation

On agirait semblablement si ces trois nouvelles fonctions devenaient nulles, pour cette valeur particulière de h.

Si n<!^m — I , et F'(A:) = o, on n*a plus nécessairement / = G.

243. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on connaîtra toutes les directions qui peuvent donner des asymptotes, en cherchant toutes les valeurs réelles de d qui donnent à r une valeur infinie.

Soit a une de ces valeurs de 0, on cherchera la limite du produit rsin(9 — a) supposé constamment réel, qui est l'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la courbe sur la droite menée par le pôle sous l'angle a avec l'axe. Cette limite sera la distance de cette droite à l'asymptote, et le signe dont elle sera affectée fera connaître de quel côté elle se trouve. Si le produit rsin(6 — a) croît indéfiniment, il n'y a pas d'asymptote dans cette direction.

On trouvera le même résultat en cherchant la limite de r (i9 — a) ou celle de r sin (9 — a), puisque la limite de

sin(© — a) ,, . .

— -J -' est lunité.

Soit, pour exemple, l'équation générale

F( ejr" -4-/( ô) r"-' H- Aj/"»-2 +. . .-i- A^ = o,

Af , As, . . ., A,„ étant des fonctions quelconques de 6. L'équation F(9) = o fera connaître toutes les directions possibles des asymptotes. Soit a une des racines réelles de

cette équation et 9 = a -1- 3: puisque F (a) = o, on aura F(a 4- J) z= dF'(a H- ÔîÎ), et Téquatîon de la courbe devient alors, en divisant par r^"~*,

r$F'{oL-h B$) -h /{a -h $) +. ..= 0.

Lorsque r devient infini, il ne reste plus que les deux premiers termes, et Ton trouve

limr(Ô — a)=:\imr$ = — :^^|.

Si Ton avait y*(a) = o, F'(a) = o, on agirait comme dans le cas précédent.

Exemples. — i** Soit proposé de trouver les asymptotes de la courbe ayant pour équation

ajr^ ^ bxy -^ ex- -\-dy -^ex -f-/* = o ; on a, dans ce cas,

, bdzi/b'* — Aac . , i» n-

K = — t ce qui exclut 1 ellipse.

L'équation de ces asymptotes devient

dk-he

X = Âx —

iak 4- b

Le dernier terme devient infini dans le cas de la parabole, et par conséquent Thyperbole est la seule courhe du second degré qui ait des asymptotes.

2** Soit maintenant y = ae'"-', équation de la logarithmique, qui ne rentre pas dans la classe générale considérée ci-dessus, parce que e™' n'est pas d'un degré fini par rapport à X.

On chercliera toujours la limite de - et ensuite celle de

y — hx.

On trouve immédiatement A: = o 5 ensuite la limite de y est zéro, et correspond aux x négatifs. L'asymptote est donc Taxe des x^ et dans la direction seule des x négatifs.

3** Dans le cas de la courbe, appelée folium de Descartes, et dont l'équation est

y^ -^ a^ — ^axy:=i o,

on trouvera une asymptote ayant pour équation

4° L*équatîon j^' = cos - conduit à A: = o, / = =1= i . La

se

courbe a donc pour asymptotes les deux droites

r==-+-i, jr= — I.

sin jc 5® L*équation y -= a représente une courbe qui a

JC

Taxe des x pour asymptote, et qui a cela de remarquable, qu'elle passe alternativement d'un côté et de l'autre de son asymptote jusqu'à l'infini.

6** L'équation y =^ a sin - donnera encore y=^o pour

l'équation d'une asymptote.

Elle offre en outre une particularité remarquable ; elle ^'approche indéfiniment de l'axe des y dans la partie comprise entre j^ = — a, j^= + a. C'est donc là un véritable asymptotisme, puisque la longueur de la courbe augmente sans limite, en se rapprochant indéfiniment d'une droite fixe.

Cette iK)urbe ne diffère pas de celle qu'on obtiendrait en enveloppant sur un cylindre une hyperbole équilatère dont Une asymptote serait parallèle au plan de la base, et proje-

tant la courbe résultante sur un certain plan passant par l'axe du cylindre.

7** Soit maintenant Tëquation polaire d'une hyperbole, par rapport à Tun de ses foyers.

{a — ccos©)r= 6% c = ^a^-h b*; on trouvera

cosa = -> limr^ = 6.

Les deux asymptotes se trouveront ainsi déterminées. Soit encore la spirale hyperbolique

(9 — vi)r = a; on trouvera

a = w, lim rS =. a*

Des asymptotes considérées comme limites des tangentes»