X -— = X^""* COS.T

dx 3à

expression dont le dernier terme tend vers zéro. Il reste donc à trouver la limite de x*""* cos j:. Or cette limite est zéro lorsque Ton a m ^ i , et alors la tangente a une limite, qui se confond avec Tasymptote», mais si Ton a

m = I , ou m<^\^ X -j- sera indéterminé •, il pourra avoir toutes les valeurs

comprises entre deux limites finies dans le premier cas, et infinies dans le second : d'où Ton voit qu'u/ie branche de courbe peut as^oir une asymptote, sans qu'il existe une limite pour ses tangentes.

D est bon de remarquer que la tangente, considérée à partir de son point de contact, tendrait indéfiniment vers

Taxe des x, parce que j^ et -^ tendent vers zéro 5 mais si on

la prolonge jusqu'à Taxe des j^, elle s'écarte de Taxe des x^ de quantités finies, ou même croissant indéfiniment, comme nous venons de le démontrer. Or, dans ce cas, on dit qu'une droite n'a pas de limite, parce que c'est toujours à l'origine et aux axes fixes qu'on la rapporte.

247. Toute limite des tangentes est asym,ptote, — Cette réciproque de la proposition précédente peut être démontrée comme il suit :

Soit X'X [fig- 88) une droite vers laquelle convergent les tangentes à une branche de courbe infinie 5 et par là nous entendons que ces tangentes font avec X'X un angle qui tend vers zéro à mesure que les points de contact s'éloignent indéfiniment, et que, si par un point A pris sur X'X on mène un axe fixe AY, il est coupé par la tangente variable en un point dont la limite est A.

Considérons maintenant une tangente quelconque PQ : il est admis qu'à partir d'une certaine position du point de contact jusqu'à l'infini, le point P va en se rapprochant indéfiniment de A, et que Tangle AQP tend vers zéro, ces deux quantités conservant leurs signes, ou en changeant d'une manière quelconque. Or il est évident que si le point de contact M est toujours situé dans la partie PQ de la tangente, quel que soit l'angle des axes dans lequel elle se trouve, sa distance MT à X'X est moindre que PA, et, par conséquent, il s'approche indéfiniment de X'X, puisque la limite de PA est zéro par hypothèse. Donc, dans ce cas, la ligne X^X est une asymptote.

Ce cas est celui qui aura lieu, par exemple, lorsque, à partir d'une certaine position de la tangente, le point Q ira toujours en s'éloignant, et le point P en se rapprochant de A ; car les intersections successives des tangentes se feront toujours dans l'angle YAX, et, par suite, les limites de ces points, ou les points mêmes de la courbe, y seront renfermés.

Il reste donc à considérer le cas où le point de contact serait en dehors de la partie PQ. Or nous allons démontrer que la tangente ne pourrait alors avoir pour limite X'X, à moins que les points de cette branche de courbe ne s'approchent indéfiniment de cette même ligne X'X, qui sera par conséquent encore une asymptote.

Concevons, en eflet, une branche de courbe infinie dont l'ordonnée ne tende pas vers zéro, et dont la tangente fasse avec l'axe AX [fig' 89) , un angle ayant zéro pour limite.

L'ordonnée pourra croître indéfiniment, ou rester limitée : dans ce dernier cas, elle pourra tendre vers une valeur déterminée \ elle pourra même osciller entre des limites déterminées, de telle sorte que, quelque grand que soit a:, la courbe reste, ou du moins revienne, à certains intervalles, au-dessus d'une parallèle située à une distance finie de AX.

35a LIVRE II.

Or nous allons démontrer que, dans ces différentes liypothèses, ÂX ne peut être la linoSte des tangentes.

En effet, supposons d'abord que l'ordonnée croisse indéfiniment, et menons à AX une parallèle CV, à une distance AC aussi grande que l'on voudra de AX; cette parallèle rencontrera nécessairement la courbe en un certain point M, et la distance GiVI pourra dépasser toute grandeur donnée. Si maintenant par le point C et un point M' de la courbe, situé au-dessus de CV à une distance aussi petite qu'on voudra de M, on fait passer une ligne droite, on sait que, quelque petit que soit l'angle qu'elle fera avec AX, elle finira par rencontrer la courbe en un second point au delà de MM', puisque l'angle de la tangente à la courbe avec AX tend vers zéro. Donc, en faisant tourner cette droite dans le même sens, elle finira par devenir tangente en un point situé au delà de M. Donc, en prenant des points assez éloignés sur la courbe, la tangente coupera AY en des points C situés à des distances aussi grandes qu'on voudra de A. Donc enfin les tangentes n'ont pas pour limite AX.

Supposons maintenant que l'ordonnée ne croisse pas indéfiniment, et que les points de la courbe restent constamment au-dessus d'une droite BU menée parallèlement à AX à une distance déterminée diUerente de zéro, ou bien passent au-dessus et au-dessous de BU à des intervalles quelconques. Considérons un point M de la courbe, situé audessus de BU à une distance de AY plus grande qu'une quantité donnée quelconque, et menons par ce point 31D parallèle à AX [fig- 90 ). En raisonnant comme dans le cas précédent, nous démontrerions qu'il existe une tangente en un point situé sur la courbe, au delà de M, et rencontrant AY en D, et, par conséquent, au-dessus de B^ d'où il suit que AX n'est pas la limite des tangentes.

Donc enfin AX ne serait pas la limite des tangentes si

les points de la courbe étaient situés en dehors de la partie de la tangente comprise entre les deux axes, et qu'en même temps leur distance à AX ne tendit pas vers zéro ^ mais si cette distance tend vers zéro, AX est asymptote. D'où il résulte enfin que, quelque part que soit situé le point de contact sur la tangente variable, si cette droite tend vers une limite, dans le sens précédemment défini, cette limite est une asymptote.

^^icuiinf. D. -^ U 23