CHAPITRE XII
DIFFÉRENTIELLES ET DÉRIVÉES DE L'ARC DE L'AIRE ET DE LWaiNAISON D'UNE COURBE PLANE. CONCAVITÉ. CONVEXITÉ. POINTS SINGUUERS.
248. Désignons par s la longueur de l'arc, prise à partir d'un certain point de la courbe : nous avons vu que son accroissement infiniment petit A 5 ne pouvait différer que d'un infiniment petit du second ordre, de la partie de la tangente terminée à l'ordonnée extrême, c'est-à-dire de
/ dy^ Av / dr^
Ax \/ I -h -T-;- Donc la limite de -^ est 4 / i 4- -r;» et
\ dx' Ad? y elx^
l'on a
ds I
dar
Dans un système de coordonnées polaires, on aura
^^y^r^+Jj', ou ds = ^r^d^^ + dr\
249. L'aire comprise entre deux ordonnées, l'axe de x et l'arc d'une courbe, croit d'une quantité comprise entre deux parallélogrammes dont la limite du rapport est l'unité, à mesure que Ax tend vers zéro : on peut donc, comme nous l'avons déjà dît, prendre l'un quelconque des deux au lieu de l'accroissement même de l'aire, sans altérer la limite du rapport à Ao:. Si donc on désigne l'aire par A, on
aura
-T- =r r sin 0, ou dA:= rdx sin ô, dx
6 désignant l'angle des axes.
Dans un système de coordonnées polaires, les deux parallélogrammes seront remplacés par des secteurs semblables, et Ton trouvera
dA r^ ,. . ,n
-— = — , ou dA = ±r^de.
dQ 2
2o0. L'inclinaison <f de la tangente sur l'axe de x est déterminée par l'équation
d'où
dr
do d^ y dx^
ou
dx d.T^ dr"^
d^Y dx
dx"
df z=.
dy^
Cette valeiu» de df est ce que nous nommons angle de contingence; il peut être pris pour Ay , qui est celui des deux tangentes aux points dont les abscisses diffèrent de dx, sans que les limites des rapports soient altérées.
Dans un système de coordonnées polaires, l'angle de deux tangentes consécutives, ou la différence infiniment petite de l'inclinaison f de la tangente sur l'axe fixe, est égal à l'angle des deux rayons vecteurs correspondants, plus l'accroissement de l'inclinaison de la tangente sur le rayon vec-
teur correspondant. On trouvera aînsî
do z.= — a9.
^ dr^
^ dif^
Concay^ité et convexité,
251 . On dît qu une courbe est concave en un de ses points par rapport à une droite donnée, lorsque, à partir de ce point, ses deux branches commencent par être comprises dans l'angle aigu formé par la droite donnée et la tangente à la courbe au point que Ton considère. Lorsque, au contraire, les deux branches commencent par être en dehors de cet angle, on dit que la courbe est convexe en ce point par rapport à la droite.
Nouç allons faire connaître les caractères analytiques qui correspondent à ces deux circonstances, en supposant qu on ait pris la droite donnée pour axe des x. Dans le cas de la concavité, l'ordonnée orthogonale de la courbe doit être moindre en grandeur absolue que celle de la tangente au point que Ton considère, pour les valeurs de x infiniment voisines de celle qui correspond à ce point. Ainsi Tordonnéi* de la courbe sera plus petite que celle de la tangente lorsqu elle sera positive, et plus grande lorsqu'elle sera négative. L'inverse aura lieu pour la convexité.
Or, en désignant par x\ y* les coordonnées du point donné, et par h une quantité positive ou négative, qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, on a pour les points de la courbé
dx' I . 2 \ da:^ ) ^^^.oa
et pour la tangente au point (x', j')^
donc, si y^ est positif, la courbe sera concave si le terme
— I -T-j j est négatif, et convexe s'il est positif. Or^
si Ton n'a pas -j-j^ = o, le signe du terme en question
sera le même que celui de -t^j quel que soit le signe de A.
Les deux branches de la courbe commencent donc par être d'un même côté de la tangente \ ce qui montre que notre définition des tangentes renferme celle des anciens, et l'étude des points singuliers nous fera voir qu'elle est plus
générale. Supposant donc que --j^ ne soit pas nul, on voit
que, pour les points de la courbe qui sont du côté des j^ po-
sitifs, la condition de concavité est -j-;- <C ^i ®^ ï* condi-
tion de convexité est -^-^ > o. C'est Tinverse pour les
points situés du côté des y négatifs.
Si -T-fi = o, il faudra que l'on ait -j-^ = o pour que les
deux branches de la courbe «oient d'un même côté de la tangente dans le voisinage du point que l'on considère, et
c'est au signe de -rji qu'on reconnaîtra la concavité ou la convexité. De même, si -^^ = o , il faudra qu'on ait — -— = o, et anisi de smte.
252. Points d'inflexion; points singuliers. — Ixwfqiu; la concavité se diange en ocnivexité, ^ doit changer de
signe et, par conséquent, passer par zéro ou l'infini ; les points où s'opère ce changement se nomment points d'inflexion et se déterminent en posant
d^r __ rf^r
d^y , Mais il ne suffit pas que -y-j soit nul pour qu'il y ait in-
1 rliATiffft dft sî^nc mie
flexion; car il faut, pour qu'il change de signe, que -—^
ne soit pas nul, ou que -j-j le soit en même temps, et ainsi
<le suite. Si -r— est infini, il faudra s'assurer s'il change de
signe en passant par cette valeur.
Points multiples. — On appelle ainsi ceux où passent plusieurs branches de courbe et où Ton peut mener, par conséquent, plusieurs tangentes. On peut les déterminer par des règles très-simples pour toutes les courbes algébriques. Soit F (a:, j^) = o une équation algébrique et rationnelle ; on en tirera
d¥ dFdx d.v dy dr
Or, cette équation devant ôtre satisfaite par plusieurs valeurs de ~ î tandis que — » — n'en auraient qu'une seule,
j . d¥ dF
on devra avoir — = o, — = o, conjointement avec
F{x^y)=:o. Si Ton trouve des solutions réelles communes
dx
à ces équations, les valeurs de —-seront données par l'équa-
tion
d^F d'Y dy d'Y ( dyy
dx' dxdy dx dy' \dx )
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC* iSg
que Ton obtient en dîfférentiant l'équation (i), et rempiaçant ensuite — par zéro.
Si trois branches passaient au même point, les coefficients de cette équation seraient encore nuls, et Ton aurait recours à la troisième dérivée de l'équation^ et ainsi de suite.
Les deux branches seraient tangentes si deux valeurs de
-7- étaient égales.
Si Téquation était résolue par rapport k y et renfermait des radicaux à double signe, on reconnaîtrait les points multiples en cherchant les valeurs de x qui font disparaître un
de ces radicaux de j^, sans le faire disparaître de ~- ; car en
ces points deux branches de courbe se couperont, et leurs tangentes seront différentes.
253. Points de rebroussement. — Si en un point multiple deux valeurs de ~- sont égales, et que les deux branches
s'arrêtent en ce point, on a un point de rebroussement. Il est du premier genre lorsque les deux branches sont de côtés différents de la tangente commune, et du second genre lorsqu'elles sont du même côté. On reconnaîtra que les branches s'arrêtent en ce point lorsque, en faisant varier x d'un côté seulement, leurs ordonnées deviendront imaginaires. Il faut cependant excepter le cas où -^ serait inûni
en ce point; on considérerait alors l'abscisse au lieu de rordonnée.
Le rebroussement sera du premier genre lorsque -r-^
sera de signe différent pour les deux branches ; il sera du second quand ce signe sera le même.
36o LITRE II.
254. Points conjugués, — On appelle ainsi des points isolés dont les coordonnées satisfont à Téquation d'une courbe, sans qu'on en puisse supprimer ces solutions. Pour ces points, le Aj^ doit être imaginaire, et, par suite, le
plus souvent le —-• Dans ce cas, comme le — > tiré d'une
équation du premier degré, ne saurait être imaginaire, les coordonnées des points conjugués satisferont aux équations ^ ^ dx ^ dy
On les trouvera ainsi en même temps que les points multiples. Mais C^y peut être imaginaire sans que la limite de
— le soit, parce que sa partie imaginaire pourrait avoir
pour limite zéro.
î5. Points d'arrêt. — On donne ce nom à tout point où s'arrête brusquement une branche unique de courbure.
On les déterminera en chercbant les valeurs de x à partir desquelles y commence à devenir imaginaire, s*il était réel auparavant, ou à devenir réel, s'il était imaginaire. D faudra, de plus, s'assurer qu'il n'y a qu'une seule branche de la courbe à passer en ce point, et que, par conséquent, les valeurs voisines de x ne donnent pas plusieurs valeurs voisines pour j*.
256. Points saillants ou anguleux, — On appelle ainsi les points où s'arrêtent deux branches de courbe, sans y avoir la même tangente. Ils rentrent dans la classe des points multiples. On les distinguera des points multiples ordinaires à ce que, comme dans le cas des points de rebroussement, les deux branches ne se prolongent pas au delà de leur point de rencontre.
Lorsque l'équation d'une courbe ne donne qu'une seule
valeur de r pour chaque valeur de a:, toute valeur de x qui
donnera deux valeurs pour -p déterminera évidemment un point saillant.
Exemples de points singuliers,
point multiple, inflexion.
tancr 2° ^ = sma:, jr = cosar, jr =z tanffx, j z=i — ^—9 7 = ^ tangr
inflexions.
3*» ^ = y (.r) -H (x — fl)"^ F (.r),
rebroussement du premier genre, si Ton a
-^ < 2 et > I ;
rebroussement du second genre, si Ton a
en supposant qu'on n'ait pas
Cas particuliers de cette formule,
jr» z= jr*, y"=.x±x\jx^ jr =^x^±x^ V^.r,
point cl' arrêt à rorigine^
point saillant ou anguleux à Torigine 5
point conjugué, ayant pour abscisse a, si a<^b\ point multiple, ayant pour abscisse a, si a^ i.
