CONTACT DE DIVERS ORDRES

257. La courbure en un point d'une courbe, étant la limite du rapport de V angle des tangentes extrêmes à Tare correspondant, aura pour valeur

lim — ou -r > ^s ds

f désignant l'angle de la tangente avec Taxe des or; et si l'on appelle R le rayon de courbure qui est aussi le rayon

du cercle osculateur, nous avons vu que - est la mesure de la courbure \ on aura donc

et, d'après les formules des n^' 248, 250, on aura dans un système de coordonnées rectangles

dx"

ît dans un système de coordonnées polaires,

tir d'r d^ d^

La réciproque de là valeur de R serait celle de la courbure.

Si Ton prenait pour variable indépendante une qu9ntité quelconque t différente de Tabscisse, on déduirait l'équation suivante des formules générales par lesquelles on opère cette transformation

R — -T-^-T^ . \ ou K =

dx d^x df d'x dœd^j — djrd^x

dt dt* dt ut^

On aurait pu passer aussi à la valeur R exprimée en coordonnées polaires, en partant des coordonnées rectangulaires. On aurait trouvé la formule obtenue ci-dessus d'une manière directe.

Appliquons cette transformation au cas où la courbe serait donnée par une équation entre l'ordonnée et l'arc, et prenons Tare pour variable indépendante \ on a

I fd^y fdyy

d.v d\T dy d'Y ' \^/ "^ \ds) ds ds^ ds d.s^

d.r d^T dv d^r

d'où l'on tire

ds ds' ds ds^

I dy'

d'x ds'

Il serait, du reste, très-facile de trouver directement celle

dernière formule. On déterminerait l'angle de contingence

dy d(f en partant de la formule sincj> = -j-y d'où

d^r I dy^

-^ds = cos'id^ = d^yJ x^ — S

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRflNTIELLES, ETC. 365

donc

fis y ' ds^

dif d^x

ds^

formule qui coïncide avec celle que Ton avait obtenue par le changement de la variable indépendante.

Courbes osculatrices .

258. Si l'on considère, au lieu d'un cercle, une courbe représentée par une équation donnée de forme, et contenant un certain nombre de coefficients indéterminés, on pourra lui donner autant de points communs avec la courbe proposée qu'il y a de ces coefficients. Si Ton fait ensuite tendre tous ces points vers le premier, la limite vers laquelle tend la courbe variable se nomme la courbe osculatrice de la proposée, relativement à celles qui sont renfermées dans Téquation indéterminée.

Ces conditions géométriques peuvent être exprimées par des relations très-simples entre les coefficients différentiels successifs des ordonnées des deux courbes : soient Xi, Xt, ^sv9 ^m les abscisses de m points communs à deux courbes, croissant par degrés inégaux suivant une loi quelconque^ on supposera, pour mettre le plus de généralité possible dans la question, que Ton prenne pour variable indépendante une quantité quelconque t, dont jc, et par suite j^, seront des fonctions connues.

Soient j^i, y%-i Jz-i" "i Jm les valeurs de j relatives aux points communs \ les différences successives de j^i jusqu'à Tordre m — i peuvent s'exprimer, comme on le sait, au moyen des valeurs j^^ ^,,. . ., j^^, et il est évident qu'elles seront les mêmes pour les deux courbes, puisque les ordon-

nées Ti, rsvî Ym sont les mêmes. — -' î -i-^^- • •» -^ se-

366 LIYKE II.

ront donc identiquement les mêmes de part et d'autre, et, par suite, leurs limites seront aussi les mêmes.

Les m — I premières dérivées de y par rapport à t auront donc les mêmes valeurs au point commun, dans les deux courbes, et il en sera de même de

> ~rrî' • •>

dt dt^ df"-^

Or on sait, d'après les formules relatives au changement de la variable indépendante, que les valeurs de

djr d^r

dx dx^ daf*^^

ne dépendent que des dérivées de x elàej par rapport àt, depuis le premier ordre jusqu'à celui que Ton considère, inclusivement.

Donc, quelle que soit la loi continue suivant laquelle les points communs se rapprochent du premier, la courbe limite sera telle, que pour x =^ Xi les quantités

dXi d\f^ d'^\r^

^'' dx' dx^'""^ dx^-'

auront la même valeur, si on les tire de son équation ou de l'équation de la courbe donnée.

Donc, pour déterminer les ?n coefficients de l'équation de la courbe osculatrice, il suffira d'égaler les valeurs des m

dv d"* — ' Y

quantités j^i 5 ;7— v? ^l'i que Ton tirera des équations

des deux courbes, et dans lesquelles on donnera à x ^\y les valeurs x^^ ji du point que l'on a choisi sur la première courbe.

Mais on formera plus simplement ces m équations en différentiant m — i fois l'équation qu'il faut déterminer, et remplaçant dans celle-ci et dans ses m — i dérivées x

et y par x^^ y^^ et les dérivées de ^ par celles qu'on tirera de l'équation connue.

Telle est la méthode générale au moyen de laquelle on trouve l'équation de la courbe oscidatrice d'une espèce donnée.

Contacts de dwers ordres,

259. Lorsque deux courbes ont un point commun, et que l'on augmente Tabscisse de ce point d'une quantité infiniment petite, la différence des ordonnées est généralement du premier ordre.

Si cette différence est du deuxième ordre, on dit que les courbes ont un contact du premier ordre •, si elle est du troisième ordre, on dit que le contact est du second 5 et, en général, il y a un contact du w'*"*' ordre entre deux courbes, lorsque la différence de leurs ordonnées, à partir du point commun, est un infiniment petit de Tordre w -H i : d'où il suit que, entre deux courbes qui ont un contact d'un certain ordre, il est impossible qu'il en passe une autre dans le voisinage du point commun, si son contact avec l'une quelconque des deux est d'un ordre inférieur.

Pour qu'il n'y ait rien d'incertain d'ans cette définition des contacts de différents ordres, il est nécessaire de démontrer que Tordre du contact est indépendant de la direction des axes ; or c'est ce que Ton établit facilement eu prouvant que, pour un point quelconque de Tune des courbes, les différences des ordonnées des deux courbes considérées relativement à des axes différents sont dans un rapport fini. Cette différence est la plus petite possible quand les ordonnées sont perpendiculaires à la tangente au point commun.

La seule direction qu'on doive excepter pour les ordonnées est celle de la tangente au point conunun.

Les cordes menées dans cette direction sont d'un ordre

infinitésimal moindre d'une unité que pour tout autre. On reconnaît en effet immédiatement, en menant par un même point une sécante parallèle à la tangente commune et une autre dans une direction différente quelconque, que la partie interceptée par celle-ci a avec l'autre un rapport infiniment petit du premier ordre.

Maintenant, si l'on développe en séries les ordonnées des deux courbes suivant les puissances de l'accroissement de l'abscisse du point commun, on reconnaît immédiatement que le contact entre ces courbes sera de l'ordre n, si les n premières dérivées de l'ordonnée par rapport à l'abscisse sont respectivement égales pour chacune des courbes, quand on y substitue l'abscisse du point commun : car, dans ce cas, la différence des ordonnées, exprimée au moyen des deux termes qui complètent respectivement les deux séries, est un infiniment petit de l'ordre « -f- 1 .

C'est là le caractère analytique auquel on reconnaît l'ordre du contact de deux lignes qui ont un point commun.

Autre manière d'em^isager les courbes osculatrices,

260. Il résulte de ce qui vient d'être dit sur le contact des courbes que pour avoir la courbe d'une espèce donnée qui a le contact de l'ordre le plus élevé avec une courbe dont l'équation est connue il suffit de déterminer les coefficients arbitraires de l'équation générale des courbes dont l'espèce est donnée, en exprimant que, pour l'abscisse que l'on considère, les ordonnées sont respectivement égales, ainsi que leurs dérivées successives jusqu'à l'ordre le plus élevé possible. On établira ainsi autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés. L'ordre du contact sera le nombre de ces équations, moins une.

On voit par là que la courbe osculatrice et la courbe qui a le contact de l'ordre le plus élevé sont identiques.

Pour la ligne droite, dont l'équation n'a que deux coefficients arbitraires, le contact ne sera, en général, que du premier ordre ^ il sera du deuxième pour le cercle. Mais il pourra arriver qu'en certains points particuliers le contact soit d'un ordre plus élevé.

Les coefficients de l'équation de la courbe osculatrice se détermineront, comme nous l'avons déjà dit, en formant ses équations différentielles successives et y substituant

ky'^ ^v? les valeurs tirées de l'équation de la courbe

donnée. Les seules inconnues sont alors les coefficients; et s'ils entrent tous au premier degré, on trouvera un seul système de valeurs et, par conséquent, une seule courbe osculatrice.

Lorsque le nombre des dérivées communes est pair, la différence est d'un ordre impair, et, par conséquent, cliange de signe avec l'accroissement de x' : donc alors les courbes se coupent. C'est ce qui arrive, en général, pour le cercle osculateur.

Si, au contraire, le nombre des dérivées communes est impair, la différence est d'ordre pair et ne change pas de signe avec l'accroissement de a:' : les lignes ne se coupent donc pas. C'est ce qui a lieu dans le cas de la ligne droite, excepté aux points d'inflexion.

264 . Les courbes les plus simples que l'on puisse mettre eh contact avec une courbe donnée sont celles qui sont renfermées dans l'équation

On peut établir un contact de l'ordre m — i entre les deux courbes, et l'on aura immédiatement l'équation de la courbe Osculatrice en développant son ordonnée par la formule de Taylor, après avoir remplacé a: par a:'-f-(j: — x'). Cette

Cale, inf, />.— !. ^4

équation est la suivante, dans laquelle les dérivées de f sont remplacées par celles que donne Téquation de la courbe connue,

^ ^ dx' ^ * dx' 1.2 daf'^ i,l,6,,.m

si m = I , on a la droite osculatrice dont Téquation est

dr^