COURBES ENVELOPPES

263. Les équations qui déterminent les coordonnées a, 6 du centre de courbure, ou du point de la dés^eloppée, co^ respondant au point (x*^ y') de la courbe donnée, sont, d'après le numéro précédent,

{,) (x'a)H-Cr'-S)^ = 0,

Ces équations ayant lieu quel que soit le point que l'on considère, si Ton donne à x' un accroissement infiniment petit, j^', a, S, qui sont des fonctions de x', en recevront de correspondants, et les équations (i) et (2) seront encore satisfaites ; les accroissements de leurs premiers membres seront donc nuls, et, par suite, leurs dérivées par rapporta j:'. Or Téquation (i), dillérentîée eu considérant a, 6,/ comme fonctions de x'^ et ayant égard à Téquation (2),

donne

dcL d^ dy dî I = 0, ou —- = —

dœ' dx' dx' ' dxx," df '

d'où il résulte, comme nous Tavions déjà démontré, que h, normale à la courbe donnée est tangente à sa déi^eloppée, au centre de courbure.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. Zy'd

264. Le calcul peut encore conduire à la seconde propriété, qui consiste en ce que la différence de deux rayons de courbure d'une courbe est égale à Tare correspondant de sa développée : il suffit, pour cela, de parvenir à une équation qui ne renferme que dR, rfa, dS.

Or, si Ton différentie Téquation

on trouvera, en ayant égard à Féquation (i),

et si Ton remet pour x' — a sa valeur tirée de (i), il vient

, dy' da

et, remplaçant -j-j par — >

Pour éliminer j"' — 6, on remarquera que les équations (i) et (3) donnent

R = (y~6)Y/i+g on R = (j^-e)y^n.

d'où

da} df^'

sida} H- d^^

Reportant cette valeur de j^' — S dans Téquation ci-dessus, il vient, abstraction faite du signe du radical,

rfR = >Jd7} -f- d^\

ce qui démontre que la différentielle du rayon de courbure est égale à celle de l'arc de. la développée. D'où l'on conclut

qu'un arc quelconque de la développée est égal à la difle rence des rayons de courbure tangents à ses extrémités. La description de la première courbe d'un mouvement continu, par le développement de la seconde, en résulte, comme nous l'avions fait voir précédemment.

265. Si Ton donnait l'équation F (a, 6) = o de la développée, et qu'on demandât celle de la développante, il faudrait éliminer a et S entre l'équation donnée et les deux suivantes :

dy doL , ^v doL

di=-M' x-«-(^-e)- = o,

doL

dans lesquelles — serait donnée en fonction de a et ê au moyen de l'équation F (a, 6) = o. Il en résulterait une équation entre x^y^—^ et, au moyen du calcul intégral,

on trouverait l'équation finie entre x ety^

Les coordonnées x, j^ d'un point quelconque de la développante peuvent facilement s'exprimer au moyen des coordonnées a, 6 et de l'arc s de la développée.

Une construction très-simple conduit immédiatement aux équations

dx, d^ -, , a — ac da

ds ds 6 — X ab

Si l'on en fait application au cas du cercle, dont l'équation est a* H- 6*== a*, on trouve d'abord

OLX H- 6 j* = a}^ ou — X -\ — / = a,

équation qui donnerait immédiatement la projection de X et j^ sur le rayon a mené au point de contact. Mais

-=COS-> - = Sm - et 5 zrr i/ j:' -j- r^ — à^. a a a a i ^

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. ijS

L'équation de la développante du cercle sera donc

a arc CCS — ,

xcos — ^a^-i-jr^ — a^ -h J' sm — y a:' -f- j^^ — a^= a et, en coordonnées polaires,

comme la figure le donnerait immédiatement.

Courbes em^eloppes.

266. Nous avons vu (n** 154) que si Ton considère la courbe représentée par une équation F (x, j^, a) = o, qu'on clierche la limite des points de rencontre de cette courbe avec celles qui résulteraient d'un accroissement infiniment petit donné à a, et que l'on cherche le lieu de ces points limites sur toutes les courbes représentées par l'équation proposée, dans laquelle a varierait d'une manière continue, il suffit, pour obtenir ce lieu, à^élîminer la constante a entre V équation de la courbe variable et sa dérivée partielle par r appoint à cette constante.

Nous avons fait remarquer que les raisonnements qui ont conduit à cette règle supposent que la fonction F {x^j^ a) n'ait qu une seule valeur, pour un même système de valeurs de x^y^ a \ car, sans cela, il serait possible qu on dût prendre deux des formes différentes de cette fonction dans les équations des deux courbes voisines. Dans ce cas, on ne pourrait supprimer F(a:,^, a) dans la seconde, et les valeurs limites de x, y seraient celles qui rendraient égales les deux Valeurs de cette fonction.

La propriété remarquable qu'a cette courbe d'Être tangente à toutes les positions successives de la courbe variable, et que nous avons démontrée géométriquement, peut ûtre établie comme il suit par le calcul.

En effet, si de réqualion — = o on tire a = cp (or, j),

et qu'on substitue cette valeur dans F (j?,j^, a) =0, od aura, pour l'équation du lieu cherché,

Soit l'équation d'une quelconque des courbes variables

Ces deux courbes (i) et (2) ont généralement des points communs, d'après la génération de la première; or il est

facile de démontrer qu'en ces points la valeur de ^ est la

même d'après les deux équations.

En effet, l'équation (i) différentiée donne

^F d¥ ^ dY fdnf d<f dx\ __ dx dy dx dt^ \dx dy dx]

Mais — ne diffère de — qu'en ce que cp [^x^y) y remplace

rt, et y (^, jr) ^st précisément la valeur de a qui rend nul

dY dY

— : donc — est identiquement nul \ et il reste pour déter-

miner—? d'après l'équation (i),

dY dY dy

dx dy dx

Maintenant l'équation (2) différentiée donne

dY^ dY dy

dx dy dx

équation qui ne diffère de la précédente qu'en ce que a y remplace cp {x^j). Mais pour le point commun aux deux courbes, on a a = y {x^j)^ puisque cette équation n'est

autre que — = 02 donc, en ce point, la valeur de —- est la

même pour les deux courbes \ donc enfin la courbe variable est constamment tangente à la courbe fixe qui est le lieu de ses intersections successives, et c'est pour cela qu'on a donné à cette dernière le nom de courbe em^eloppe.

Néanmoins il ne faut pas croire que la courbe enveloppe soit nécessairement tangente à toutes les courbes variables •, cela n'a lieu que pour celles qui sont coupées par les courbes infiniment voisines, et les raisonnements précédents ne s'appliquent qu'à celles-là. Or il peut arriver que ce ne soit qu'entre certaines limites de la constante que cette intersection ait lieu. Il est donc plus exact de définir la courbe enveloppe par la propriété d'être le lieu des intersections successives des courbes variables que par celle d'être tangente à ces coui'bes dans toutes leurs positions.

267, Si l'on prend pour la ligne variable la normale à une courbe donnée, l'enveloppe sera le lieu des centres de courbure, puisqu'on a démontré qu'ils sont les limites des rencontres des normales infiniment voisines. En appliquant à cette question la théorie qui vient d'être exposée, il est facile de voir que le calcul conduit à la développée. En effet, l'équation d'une normale quelconque est

y' est une fonction connue de x'^ et x' remplace ici la constante a. Différentiant cette équation par rapport à x\ il vient

df rf^» . I

dx'^ dx

SjS LIVRE II.

d'où

et", par suite,

dr'^

d'y' dx'^

Ces valeurs de x et j^ sont précisément celles de a et 6 du n° 262. Pour obtenir Téquation de la courbe enveloppe, il faudrait éliminer x' entre ces» deux équations, après avoir préalablement remplacé j ' en fonction de x' : ce qui revient à éliminer a/, y entre ces deux équations et celle de la courbe donnée. Ce calcul n'est autre que celui qui est indiquée n° 262 pour obtenir Téquation de la développée.

Applications des théories précédentes i