Parabole, — Soit x^ =r ipy\ on en tire
x^ dy X d^y i
ip dx p dx^ p
La valeur du rayon de courbure sera
Les coordonnées du centre de courbure seront données par les équations
et
.r' \ jr
X — a=.rliH ou a= •
Eliminant x^\y entre ces deux équations et celle de la parabole, on trouve, pour équation de la développée, '
6 — /?=rf/?^a^
Cette courbe a un rebroussement du premier genre au point pour lequel a = o.
Ellipse. — L'équation a} j* -f- i'x* = a*i* donne
dx a^y dac^ à} y*
Or, en désignant toujours par N la longueur de la normale, on a
^-^bT-y
p désignant le demi-paramètre.
On trouverait la même formule pour l'hyperbole et la parabole. Les coordoiuiées du centre de courbure seront données par les équations
Si, au moyen de Féquation de l'ellipse, on élimine x de là première et ^ de la seconde, on troaTe, en posant a«— &» = c«,
ou
b* L al
38o LIVRE II.
et, substituant dans l'équation de Tellipse, on a, pour 1 equation'de là développée,
l'équation de la développée de l'hyperbole serait
il 1 * ♦.
Elle se déduirait de celle de l'ellipse en y changeant J* en Cycloïde, — L'équation différentielle de la cycloïde est
= i / — — I ) d ou
djr ^ /2fl „ , d^x a — ou -r-- =:= -»
dx y y di? j*
et, par suite,
N désignant la normale ; d'où l'on conclurait, comme précédemment, que la développée d'une cycloïde se compose de deux demi-cycloïdes identiques à la première.
On peut déterminer Faire de la cycloïde en la considérant comme la somme des parties comprises entre les rayons de courbure consécutifs.
Soient QH, PK {fig' 62) deux rayons infiniment voisins, S leur point de concours, et PR parallèle à AA'; le
rapport des triangles semblables SLF, SRP est ^^ 5 dont la
limite est -J-; de plus, QRP est infiniment petit par rapport à ces triangles, ainsi que Taire HSK. Donc la limite de la somme des aires LFPR, depuis A' jusqu'à A, est Taire comprise entre la cycloïde AEA' et sa base; et la limite de la somme des triangles SLF est Taire comprise entre AA' et les arcs AB, A'B : cette aire ajoutée à la première forme le rectangle construit sur A A' et aa. D'ailleurs le rapport de LFPR à SLF a pour limite 3, puisque le rapport de SPR
à SFL a pour limite 4- Donc Taire de la cycloïde AEA' est les trois quarts du rectangle qui a pour base 2 7ra et pour liauteur 2 a, et dont l'aire est, par conséquent, 4^^^-
L'aire de la cycloïde est donc 3 ira', ou trois fois celle du cercle gënërateur.
Spirale logarithmique. — Son équation r = ae^ donne, comme on Ta vu ci-dessus,
On trouvera, pour le rayon de courbure,
^z=zaé^sji +/wS ou R = MO.
Le centre de courbure est donc à la rencontre de la normale avec la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur.
Si l'on pose
OAX=:e', OA = r',
l'équation polaire de la développée sera, d'après ce qui précède.
r -2=2 mae
On peut lui donner la même forme qu'à la proposée, en comptant les angles à partir d'une droite faisant avec AX un angle a tel que l'on ait
me
l'équation précédente devient alors
r' = eoT^.
La développée d'une spirale logarithmique est donc une spirale identique, et qui coïnciderait avec elle, si on la fai-
sait tourner autour du pôle d'une quantité angulaire a ésaiie a •
La différence des deux rayons de courbure MO, M'O' étant égale à l'arc OO' de la développée, il s'ensuit que si le point M' tend indéfiniment vers le pôle, ainsi que 0', l'arc OO' se rapprochera indéfiniment d'être égal à MO.
Ainsi la longueur totale de l'arc d'une spirale logaritlimique compris entre un point quelconque O et le pôle asymptote est égale à la tangente OM terminée à la perpendiculaire au rayon vecteur AO, menée par le pôle.
