AUX SURFACES COURBES

S69. Une courbe dont tous les points ne sont pas dans un même plan est dite à double courbure. La tangente en un quelconque de ses points est la limite vers laquelle tend une sécante qui passe par ce point et par un autre appartenant aussi à la courbe, et qui se rapproche indéfiniment du premier.

On appelle longueur d'un arc la limite vers laquelle tend le périniètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés tendent tous vers zéro. Cette limite est indépendante du mode de division de Tare, parce que les rapports des éléments correspondants de ces polygones, compris entre des plans parallèles infiniment voisins, ont pour limite lunité.

On pourra donc encore prendre la corde ou la tangente au lieu de Tare infiniment petit, et la différentielle ds de l'arc d'une courbe à double courbure aura pour expression

les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.

Une sécante passant par les points de la courbe ayant pour coordonnées

-^ï y^ 2, et a: -h Ax, y -f- Aj, z 4- Az

fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont

Aj? Aj Az

T~' T~' T~' A5 A^ . Aj

en regardant As comme égal à sa corde, ce qui ne change pas les limites. Leurs signes apprennent si la droite dirigée du premier point vers le second fait avec les axes des angles

aigus ou obtus.

T 1 . . •■ . ^^ ^y dz . 1

Les limites de ces expressions, ^^ j~» ;7~' ;t-» sontlesco-

€4fO €^ô €^o

sinus des angles que fait la tangente avec les axes

270. Les équations de la sécante passant par le point a:', y\ z* de la courbe et un autre point infiniment voisin sont

Az' étant l'accroissement arbitraire donné à z', et Ax', Ay les accroissements correspondants des coordonnées de la courbe. Donc les équations de la tangente seront, en prenant ces rapports différentiels à leurs limites,

dz' étant un accroissement arbitraire donné à x^ et dx\ df les différentielles des fonctions x\ y' de z\

Si la courbe est déterminée par les équations de ses pro-

dx! dy' jections sur les plans XZ, YZ, on tirera -j^j et -jy de chacune d'elles.

Si elle est donnée par deux équations à trois variables

on en déduira

d¥ dx! dY dy ^ df dx' df dy df __

dl'17'^dy'd^'^~d7'~^' H' dl'^'dy 'd^'^l^''^^'

et il faudra tirer de ces deux équations les valeurs de

S^' S^' pour les reporter dans les précédentes, ou élîmi-

j ,, dx dy' ,

ler de toute autre manière jy» —j entre les quatre équa-

ions : on obtient ainsi, pour les équations de la tangente, rfF dY dV

V^ous verrons plus tard que ces équations ne sont autre iliose que celles des plans tangents aux surfaces représentées )ar les deux équations données, et dont la courbe donnée 3st Tintersection.

271. On appelle p/ara Tzor/iuz/ celui qui est perpendiculaire à la tangente, au point de contact. Son équation sera, 1 après celles que nous avons données d'abord pour la tangente,

{x — x')dx''h (y -y) dy~{-(z—z') dz' = o.

On pourrait parvenir à cette même équation en cherchant 5 lieu des droites menées par le point x'^ j\ z\ perpendiulairement à la tangente. Soient, en effet, J?,j^, z les cooronnées d'un point quelconque d'une de ces droites, les osinus des angles qu'elle fait avec les s^xes sont proportionels aux quantités x — x'^ y — y\ z — z^\ ceux qui se raportent à la tangente sont proportionnels à dx\ dy^dz'\ I*, pour que ces deux directions soient perpendiculaires, il ^ut que le cosinus de leur angle soit nul \ d'où résulte, pour >U8 les points du lieu,

(x--^x')dx'-^(x--y)dy-^{z'-z')dJ=o.

Calcul inf. D. — I. 25

272. On peut encore obtenir l'équation du plan normal en le considérant comme la limite du plan qui renferme les points communs à deux sphères égales ayant leurs centres en deux points de la courbe, infiniment voisins.

Soient x'^ y\ z* les coordonnées du premier point, x' -H Ax', j^' -h Aj', -s'-l-Az' celles du second, et Rie rayon des spbères 5 Téquation de la première est

celle de la seconde est

Elles ont lieu en même temps pour les points communs, et si on les soustrait Tune de l'autre, on trouve, en négligeant les infiniment petits du second ordre et substituant les différentielles aux différences,

Cette équation étant du premier degré est celle du plan qui contient le cercle d'intersection des sphères, pris à sa limite, ou du plan normal.

Toute ligne située dans le plan normal est dite normale à la courbe.

Tout plan passant par la tangente est nommé plan tan* gent à la courbe.

Plans tangents^ plans normaux et normales aux surfaces

courbes,

273. Plan tangent. — Une tangente à une surface est la limite vers laquelle tend une sécante menée par un point de cette surface, lorsqu'un second point d'intersection tend vers le premier.

Ce second point pouvant tendre d'une infinité de manières vers le premier, il y a une infinité de tangentes à la surface en ce point, et elles ne sont autre chose que les tangentes aux courbes que le second point a suivies sur la sur&ce, en se rapprochant du premier. Nous allons démontrer que le lieu de toutes ces tangentes est un plan, et nous lui donnerons le nom de plan tangent.

Pour déterminer, en général, le lieu de ces tangentes, soit

l'équation de la surface.

Les équations d'une tangente quelconque au point x'^ y^ z' seront, comme nous l'avons vu,

dx' dy'

dx' dy"

les quantités -77» -jj sont indéterminées, mais liées entre

elles par Féquation

dx! dy'

dans laquelle p et g représentent les dérivées partielles

( — ^ j> (^-j)» tirées de l'équation z=^f[x^j). En effet,

cette dernière donne

A 2' = 7? A Jî' ^- <7 A j' 4- ûï,

tù étant indéfiniment petit par rapport à A:r', Aj^', Az -, et l'on en tire, en divisant par Az', et passant aux limites, en regardant x'^j' comme des fonctions de z,

da/ dy

1=/?^ + ^^ ou dz^^zpdx'^qdf,

d'où l'on voit que si, au lieu de regarder dz' comme arbi-

388 LIVKE II.

traire et dx\ dy comme des différentielles déterminées par ]es équations de la courbe, on considérait dx'^ dy' comme des accroissements arbitraires, dz' serait la différentielle du

z' de la surface.

dx' dy' Si Ton élimine ^» ^ entre les trois équations précédentes, on aura l'équation du lieu de toutes les tangentes. On trouve ainsi

(x-a:') {y-y') et

z — z'=p {x — xf)-^q ij^y).

Cette équation étant du premier degré par rapport à or, j^ z^ il s'ensuit que le lieu des tangentes est un plan.

L'équation du plan tangent prend une autre forme quand l'équation de la surface est de la forme

et non résolue par rapport à z.

On déterminera —^ et ^-7 par les équations

dY dY dz' dY dY dz'

dx' ^ dz' dx' "" ' df "^ dz' dx' "" ' et Féquation du plan tangent sera

,dY , ,.dY . ,dY

274. Normale. — La normale est la perpendiculaire au plan tangent, menée au point de contact 5 ses équations seront donc

ClLGIJL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. SSp OU

Plan normal. — Si, au point de contact d'une tangente à une surface, on mène un plan perpendiculaire à cette ligne, on aura un plan normal à la surface. On trouvera son équation, soit en partant des équations d'une tangente, soit par l'intersection de deux sphères égales dont les centres se rapprochent indéfiniment. De cette manière on aura, pour l'équation d'un plan normal quelconque au point

Elle est indéterminée, parce que les dififérentielles dx'^ dy*^ dz' ne sont assujetties qu'à la condition

et si l'on substitue cette valeur de dz^j cm obtient

Cette équation cbangera avec le rapport que Ton établira entre da/j dy^ et représentera tous les jdans normaux an point donné.

De cette équation an ^an normal on peut déduire celle de la normale, et par snite du plan tangent* En eflet, on voit qu'dle est satisfute, quel que soit le rapport de dy k dx'y si l'on pose les deoz équations

SgO LITRE II.

Donc tous les plans normaux se coupent suivant une même droite, représentée par ces deux équations. Cette droite étant perpendiculaire à toutes les tangentes, ces dernières sont toutes dans un même plan, ayant pour équation

dz' d^

On trouve ainsi, indépendamment de la première méthode, \é^ équations du plan tangent et de la normale.

Sur la distance des droites successiv^es d'un système

continu,

275. Si Pon considère une série de droites dont les équations générales dépendent d'une constante dont la valem* puisse varier arbitrairement et d'une manière continue, la plus courte distance de deux de ces droites, correspondant à des différences infiniment petites entre les constantes, peut être du même ordre que ces différences, ou d'un ordre différent.

L'objet que nous nous proposons ici est de déterminer avec plus de précision qu'on ne l'a fait jusqu'ici l'ordre infinitésimal de cette dislance, et c'est ce que nous ferons au moyen d'une remarque curieuse due à M. Bouquet. Elle consiste en ce que, si dans une série continue quelconque de droites la distance de deux consécutii^es est généralement d'un ordre supérieur au premier, elle est au moins du troisième.

Soient, en effet,

jî izz flz -f- a, jr = bz -^ ^ les équations d'une droite quelconque de la série a, &, a, ë

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. Sqî

dépendant d'une certaine constante unique*, Aa, Ai, Aa, AS les accroissements des constantes, en passant à unç droite infiniment voisine, faisant partie de la même série ^ la plus courte distance â de ces deux droites sera, d'après une formule élémentaire connue.

àa A^ — àb Aa

Or on a

^^a^ -h àb^-h {aàb — b^ay

iia=: da -] — d^a H ^d^a

Aô = rfô -}- - €f'è -+- -î^rf'ô -h. . . ,

Aa = flfa H — d^a, H ;r rf'a

A6 = rf€ + ~ d'îê 4- -A; ^»S

il en résulte

AaA6 — Aa Aa = [dad^ — dbda) -¥- \ {dad*^ 4- dèd^a — dbd^a, — éfad'» è) -f-

Or, si le premier terme dadS — dbda, n'est pas nul, le dénominateur de S étant un infiniment petit du premier ordre, et son numérateur du second, $ sera du premier ordre. Si, au contraire, on a constamment

dad^ — dbda = o,

le numérateur devient d'un ordre plus élevé de deux unités, parce que l'ensemble des termes du troisième ordre n'est autre chose que la moitié de la différentielle de da de — dbda^ et <^te dernière quantité étant constamment nulle, sa différentielle l'est aussi.

Q'où résulte cette conséquence remarquable que, si la distance dé deux droites consécutives^ prises dans une série

iQ2 LIVRE II.

{/uelconi/ue, est généralement d'un ordre infinitésimal supérieur au premier, elle est au moins du troisième.

Le théorème que nous venons de démontrer est soumis, comme prescjue tous les autres, à des exceptions très-particulières \ il est fondé sur des développements généralement possibles, mais (jui, pour certains points singuliers, pourraient devenir illusoires.

application aux tangentes à une courbe.