Les équations d'une tangente quelconque sont

On a donc, dans ce cas,

dz'^ dz'' d:^^ '^ dz'

Nous prendrons zf pour la constante qui détermine la position de la droite, et dont ocf^y* sont des fonctions d'après les équations de la courbe.

Cela posé, on aura

da d^x^ db d^y'

dz'

"~ dz'^'

' dz'

doi dz'~

dz'

dz'^

et.

par

conséquent.

dad& —

dbdoL —

Donc, en général, dans toute courbe à double coW' bure, la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines est un infiniment petit du troisième ordre, si la distance des deux points de contact est du premier.

CA^LCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. SgS

Application aux normales à une surface,

277. Les équations générales d'une xiormale sont a: ^jé=--p{z — z'\ y — y' = — <?(« — ^)^

dz' dz* p et q désignant les dérivées partielles ^-75 --ry

Si maintenant on conçoit une courbe (quelconque sur la surface, en établissant entre x\y\ z' une seconde équation au moyen de laquelle ces trois coordonnées dépendront d'une seule d'entre elles, ou de toute autre variable indépendante, on peut se proposer de déterminer cette courbe de manière que la plus courte distance des deux normales, correspondant à des valeurs infiniment voisines de la constante, c'est-à-dire à deux points infiniment voisins de la courbe, soit un infiniment petit du troisième ordre, la distance des deux points étant du premier.

Dans le cas actuel, on aura

a=: — p, bz=z — ç, cL = a/ -{- pz\ t:=iy -\- qz\

et l'équation dadè — dhda devient

{dy H- qdz')dp =: [dx' -f- pdz')dq.

En remplaçant dz' par sa valeur pdx' -^-qdy^ et formant les différentielles dp^ dq d'après les dérivées partielles

d'z' d^zf d^zf , , .

5^' dx'df'' ^' ^^ ^^^^ désignerons par r, 5, t, cette

équation devient

(,y.^5,+,)^gy

+ Kl 4- </') - f (l + jB')] ^ + M/-- *(H- />») = o.

Cette équation, jointe à celle de la surface, détermine les

courbes jouissant de la propriété demandée, et que l'on nomme lignes de courbure, de la surface. Nous reviendrons sur ce point quand nous aurons étudié les équations différentielles. Nous nous bornerons à remarquer que réquation

donnant deux valeurs pour ^, ? il y a en chaque point de la

eue

surface deux directions jouissant de la propriété en question.

CALCOL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. SqS