CHAPITRE XYI
PLAN OSCULATEUR D'UNE COURBE. CERCLE OSCULATEUR. ANGLE DE CONTINGENCE. ANGLE DE TORSION. SURFACE POLAIRE. CENTRE DE LA SPHÈRE OSCULATRICE. CONTACTS DES COURBES A DOUBLE COURBURE. DÉVELOPPÉES DE CES COURBES. CONTACTS DES SURFACES.
278. Plan osculateur, — On appelle ainsi la limite vers laquelle tend le plan qui passe par trois points d'une courbe, qui tendent indéfiniment à se réduire à un seul. Soient x' ^ y\ z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, x'-f- ù^x'^ y' "^ ^y\ ^' -^ ^^' celles d'un point infiniment voisin, et or'-f- 2 Aa:' -h A*af , y' -h 2 Ay '+ A*j^', z'-4- 2 Az'-f- A*;?' celles d'un troisième point de la courbe; les difierentielles étant déterminées d'après les accroissements égaux d'une variable quelconque, dont x'^jr'^ z' sont des fonctions détemônées.
Tout plan qui passe par le premier point a pour équation
pour qu'il passe par les deux autres, on aura les conditions
et pour le plan limite ces équations auront lieu entre les diflerentielles
€&^, dy^ dz^^ d^j^^ d^y^ d^if.
Les valeurs de a et i tirées de ces deux équations, et reportées dans celle du plan, donnent l'ëquation du plan osculateur, qui est •
-4- (z — «')(rfar'd'»j^ — €(r'</'jr') =0.
279. Si l'on cherchait la limite des plans passant par la tangente en un point d'une courbe, et par un autre de ses points tendant vers le premier, il est facile de voir qu'on retrouverait le plan osculateur.
En effet, les équations de la tangente sont
et le plan dont l'équation est
contiendra cette tangente, si Ton a
dx' dy'
1 = a-7-r H- ^ -7T» ou dz' z= adx' -^ bdy' ^ dz dz
ou, prenant t pour variable indépendante,
dz* daf , df
dt de dt
Pour que ce même plan passe par un point ayant pour coo^ données x'-l- ^x\ J^ '^ At^S ^'"^ ^-^S ^ faudra que l'on ait
Mais on pourra, dans celte équation, négliger les termes du second ordre, parce que tous ceux du premier disparaissent, en vertu de l'équation précédente.
En effet, si l'on développe les différences, et qu'on se
borne au second ordre, on aura
àz'i= — àt -{
dt dt^ 2
dy dW' àt^
-^ dt dt^ 2^
da^ d^x^ M^
Ajî'=:-j- Ar-h.—
dt dt' 2
Substituant dans l'équation ci-dessus, les termes qui renferment At au premier degré disparaissent, et il reste, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, et
divisant par — j
€fV d'j/ d*r'
— =a^^ + b^, ou dH'^ad'a^-^bd^y.
Les coefficients a et 6 sont donc déterminés par les mêmes équations que précédemment, et Ton trouve l'équation du plan osculateur.
On trouverait encore le même plan en cherchant la limite de celui qui passerait par une tangente et une parallèle à la tangente infiniment voisine.
280. Angle de contingence. — On appelle ainsi l'angle de deux tangentes infiniment voisines, ou, pour parler rigoureusement, une quantité dont le rapport à Taccroissement de la variable indépendante soit égal à la limite du rapport de l'angle des tangentes à ce même accroissement. Ces tangentes n'étant pas dans un même plan, leur angle est celui de deux droites qui passeraient par un même point et leur seraient parallèles. Soient a, i, c les cosinus des angles formés avec les axes par la première tangente, et a + ûa, b -H A6, C'{- Ac ceux qui se rapportent à la
seconde ; le cosinus de l'angle (ù de ces deux directions sera
COS» = a* -4- è'H- c'H- aàa ■+■ b^b -*- cAc = I -f- a^a -t- b^b -f-cAc.
De Téquation
on tire
2a Aa -f- ^bLb H- acAc-H Aa*+ Aè*-h Ac* =0;
donc
. w Afl'-f- A^4- Ac»
1 — cosû) = 2sin'- = •
Si Ton remplace sinco par co, et les différences par les différentielles, w sera ce que nous avons appelé l'angle de contingence, et Ton aura
«» — da^-^ db^-h dc\ ou « = \/da^-h db^-^- dà.
On pourrait encore établir cette formule par des considérations géométriques.
Menant MB {fig^ 92) parallèle à la seconde tangente, et prenant MA = MB = i , on a
arcAB = u.
Projetant le triangle rectiligne MAB sur les trois axes, et appelant X, /x, v les angles de la direction AB avec les directions positives de ces axes, on pourra écrire
da z=z (à cos^, db = (^ cos p, de z= (o cosv,
da
Oi) =1 sjda' -f- db^ + dc^ , cosX 1= — 7
sida? H- db^ 4- dc^
dh de
COSp z=z •? cosv rrr
^dcû H- dh^ -f- ^c» >^dà' -f- e/^»^ -4- ^c'
Cela fait connaître l'angle de contingence et les cosinus
des angles de la direction prise du point M vers le centre de courbure.
Or on a
dx dy dz
ds ds ds
d'où Ton tire
dsd^x — dxd^s dsd^y — dyd^s
du — i * do •""* . I — — ' «
ds^ ds' '
dsd^z — dzd^s
dc =
ds' substituant ces valeurs dans celle de co, et observant qu'on a
ds* = da:'-\- dy^ -f- rfî*,
dsd^s = dxd^x -f- dyd^y -f- dzd^z, on obtiendra
» = ^ Jd'x^ -f- d^x'-h d'z^— d^sK ds
Ou peut faire disparaître d^sde cette expression, en tirant sa valeur de Téquation précédente : on trouve ainsi, toute réduction faite,
281. Si, au lieu de chercher T angle de deux tangentes en des points M, M' infiniment voisins {Jig. 93), on cherchait l'angle de la corde MM' avec la corde M'M'', en supposant les deux points A 'M'' correspondant aux accroissements égaux d'une variable quelconque t, on trouverait la même expression pour l'angle TM' M". En effet, les cosinus
des angles de MT avec les axes sont les rapports rrrrr»
'■'■ MM
tSm'* mm'* ^^ diffèrent de quantités infiniment petites de
djc d.Y dz
leurs limites respectives j~' 3~' x* ^^ changement de t
4oO LIVRE II.
ent-h dt donnera donc les mêmes accroissements dans les uns et les autres, en négligeant les quantités d'un ordre supérieur à celui des accroissements. Il est donc inutile de recommencer ici les calculs précédents; et la valeur de TM^M^^ aura la même expression que celle de l'angle de contingence od.
282. Cercle osculateur. — Dans les courbes à double courbure, comme dans les courbes planes, nous appellerons cercle osculateur la limite du cercle qui passe par trois points infiniment voisins; ce cercle limite se trouvera évidemment dans le plan osculateur.
Soient M {fig- 94) tin point quelconque de la courbe^ M', M'^ des points qui s'en approchent indéfiniment; 0 le point de rencontre des perpendiculaires menées par M, M' à ces deux cordes, dans le plan qui les contient : M^O sera le diamètre du cercle passant par M, M', IVf . L'angle 0 a pour mesure l'arc de cercle MM'M'^ divisé par le diamètre M^O. Or on peut substituer à cet arc celui de la courbe, ou
On aura donc M'O = -pr- en négligeant ù^s.
Mais l'angle O est égal à TM'M'^, qui peut être remplacé par l'angle de contingence ca relatif à l'arc ^s. On aura ainsi, en désignant par R le rayon du cercle osculateur,
ds R=— ; d'où, en remettant pour co l'une ou l'autre des
deux expressions données précédemment, on tire les formules rigoureusement exactes
yJd''a:^-{- d'j^-h d^z^— d'S^
et
ds'
sli^djd'z — dzd^jY ■^^^^<^'' '^ ^ ^^ ^Y-^^àxd^y — djd^x)*
283. Angle de torsion. — On appelle ainsi T angle de deux plans osculateurs consécutifs, ou, pour parler plus exactement, la différentielle correspondante.
Soient 0e, 6, y les angles que fait avec les axes la normale à un plan osculateur; on aura, d'après l'équation de ce plan, a:, j^, z étant les coordonnées du point de la courbe,
djrd'^z — dzd^y
cosa =
^ dzd*x — dxd^z C0S6 =r — ,
dxd'^jr — dyd^ai:
en posant
La normale au plan osculateur infiniment voisin fera avec la précédente un angle égal à celui des deux plans \ si on le désigne par U, on aura, par un calcul semblable à celui qui a donné l'angle de contingence, •
U = v'(^cosa)* -f- {d cosê)» H- {d cosy)'.
Mais il faut l'obtenir en fonction des différentielles de x^ y, z \ pour cela, posant
dyd^z — dzd^jr = X, dzd^x — dxd'^z =: Y,
dxd^jr — dyd^x == Z, d'où
dyd^z — dzd^x == c?X, dzd^x — dxd^z =. ^ Y, dxd^y — dyd^x = c?Z,
on trouvera
V^CX<fY — YrfX)'-t-(Y^Z— Z</Y)'-t-(Z</X — Xr/Z)' "" x«-^Y*-i-Z* '
Calculinf. D. -- l. 2^
Mais on a
Te/Z ZdX
Zdyi-^
-HdZ ILdY-^YdX
dx djr dz
ff
z=idx{d'xd^z — d^zi^x) 4- dx{d:*zd*x — éPx^z)
dz (€pxd*x — d^yé^x].
Donc
, dx(d^r d*z-- d>zd* yy\-dx{d} zd^x —d^xd^ zy^- dz{d^xd^y —^rd^x)
H n'y a pas lieu de représenter cette seconde courbure par celle d'un cercle qui se présenterait aussi naturellement que le cerclé osculateur qui mesure la première.
On trouverait la même expression, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, en considérant trois côtés consécutifs d'un polygone infinitésimal inscrit, et cherchant l'angle que le plan des deux premiers fait avec le plan du deuxième et du troisième.
284. Si le rayon de la première courbure est infini pour tous les points d'une ligne, tous les côtés du polygone infinitésimal inscrit dans cette ligne sont dans le prolongement les uns des autres, et, par conséquent, cette ligne est droite. La condition pour qu'une ligne soit droite pourrait donc s'exprimer par l'équation différentielle
[dxd^z — dzd}xY-\-{dzd^X'-'dxd:^zY->r[dxd^X— dyd^xYzriQ,
d'où l'on tire les trois équations
dxdH — dzd^x = o, dzd^x — dxd^z =: o, dxd^x — dxd^x z= o
OU encore
dz dx dy
d'où l'on conclut
dx dx ,
dz dz '
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉREIiTIELLES, ETC. 4^3
aelb étant des constantes arbitraires. Et comme aetb sont les dérivées de a z et bz^ il suit d'une proposition démontrée précédemment que les fonctions j: et j^ ne peuvent 6tre que de la forme
ar = «2 -{- a, jr = bz-^ ^^
a et 6 désignant des constantes arbitraires. On retombe ainsi sur les équations générales de la ligne droite.
Si la seconde courbure est nulle, tous les plans osculateurs se confondront, et la courbe sera plane. La condition pour qu'une courbe soit plane est donc exprimée par Téquation différentielle
dx(d^yd^z — d^zd^y) -}- dx[d'^zd^x — d^xd^z)
H- dz{d'xd^x — d^jrd^x) = o, équation qui se réduit à
d^jrd^z — d^zd^y = o,
si l'on prend x pour variable indépendante.
On vérifie bien facilement que cette relation existe pour tous les points d'une ligne située tout entière dans un plan.
285. Surface polaire, — Si Ton conçoit un polygone infinitésimal inscrit dans une courbe à double courbure, et qu'on élève des plans perpendiculaires au milieu de ses côtés successifs, la ligne d'intersection de deux de ces plans consécutifs sera le lieu des pôles du cercle passapt par les trois sommets correspondants du polygone^ et sa limite sera le lieu des pôles du cercle oscillateur, vers lequel tend le cercle variable.
n est facile de reconnaître d'ailleurs que l'on trouverait la même ligne en cherchant la limite de l'intersection de deux plans normaux consécutifs.
Si l'on agit de la même manière en tous les points de la courbe donnée, on obtiendra une suite de lignes polaires
4o4 LIYEE II*
qui formeront une surface qu'on nomme surface polaire. Elle n'est autre chose que le lieu des centres des sphères limite de celles qui ont trois points infiniment voisins, communs avec la courbe. Cette surface est développable ; car elle est la limite d'une surface qui se compose d'éléments plans indéfinis compris entre les deux intersections successives de trois plans consécutifs. De plus, ces éléments plans ont pour limite de leurs directions celle des plans tangents: donc tous les plans normaux à la courbe sont tangents à sa surface polaire, et cette dernière peut être considérée comme la surface enveloppe de ces plans.
286. Sphère osculatrice. — On désigne sous ce nom la limite des sphères qui ont avec la courbe quatre points communs qui se rapprochent indéfiniment. Le centre de la sphère passant par quatre sommets consécutifs du polygone inscrit est à la rencontre des deux droites suivant lesquelles se coupent les trois plans perpendiculaires aux trois côtés consécutifs du polygone-, c'est le point commun à deux droites polaires consécutives.
Les centres de ces sphères successives déterminent un polygone qui tend vers une courbe dont les droites polaires sont les tangentes \ cette courbe est donc l'enveloppe des polaires. Elle est aussi l'arête de rebroussement de la surface développable, lieu de ces polaires, c'est-à-dire de la surface polaire*
287. Equation de la surface polaire. — Cette surface est le lieu des intersections successives des plans normaux, ou encore des normales à la courbe donnée. Or l'équation d'un plan normal quelconque est
(l) {x — x')dx' + ( j ~ y^j') + (z -« z')d:d = o.
Si l'on donne à la variable indépendante t. dont on regarde
x\ y^ z' comme des fonctions connues, un accroissement infiniment petit ùt^ et que Ton considère le plan normal, au point voisin qui en resuite, son équation se composera des mêmes termes que la précédente, plus les termes résultant du changement des quantités x\y\ z', dx\ dy\ dz\ Les premiers termes s'annulent pour les points communs aux deux plans, et il reste, en négligeant ceux du troisième ordre et passant aux différentielles.
Les équations (i) et (2) ont donc lieu entre les coordonnées or, y^ z de tous les points d'une des génératrices de la sur&ce polaire.
Donc on aura l'équation de la surface polaire, en éliminant x', y\ z' entre les équations (i), (a) et celles de la courbe donnée.
288. Centre de la sphère osculatrice, — Ce centre est la limite du point de rencontre de trois plans normaux con- 8ëcuti&, ou de deux droites suivant lesquelles se coupent les deux premiers et les deux derniers de ces plans. L'une est représentée à la limite par les deux équations (i), (2)9 l'autre par ces équations augmentées de leurs différentielles. Pour la limite du point commun aux deux droites, les différentielles des équations (i), (2) par rapport à x\y\ z\ dx'^. . . seront donc nulles, et il en résultera cette nouvelle équation
Les équations (i), (2), (3) donnent le centre de la sphère osculatrice correspondant au point (x\ y\ z')\ et l'on aura les équations du lieu de ces centres, ou de l'arête de rebroussement de la surface polaire, en éliminant x'^y\ zf entre ces trois équations et celles de la courbe donnée; d'où il résulte deux équations entre x, y^ z.
4o6 LIVRE II.
^9. U est facile de reconnaître, au moyen des équations (i), (2), que tout plan normal à la courbe est tangent à la surface polaire. En effet, considérons sur cette dernière un point quelconque infiniment voisin de celui qui a pour coordonnées x^y^ z et qui se trouve dans le plan normal déterminé par Téquation (i). Soient considérés dx^ dy^ dz comme les différences de leurs coordonnées : les équations (i), (2) sont satisfaites par les coordonnées du premier point ^ et elles le seront par celles du deuxième, si Ton considère le plan normal infiniment voisin qui passe par ce deuxième point.
Or, si Ton donne à x^ y^ z, x\ y\ z' les accroissements correspondants dx^ dy^ dz^ dx\ dy\ dz\ dans l'équation (i), il restera, en vertu de l'équation (2),
elxda/ -+- dydjr'-\- dzdz! = o.
Mais la droite qui joint les deux joints pris sur la surface polaire, et finit par lui être tangente, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^ dy^ dz 5 l'équation précédente prouve donc que cette droite est perpendiculaire à la tangente à la courbe au point (x\ y\ ^'), et que, par conséquent, elle est située dans le plan normal, au même point de cette courbe, puisqu'elle a déjà le point (or, y^ z) commun avec ce plan.
290. Centre de courbure. — Le centre du cercle osculatcur, ou le centre de la première courbure, se trouve dans le plan osculateur, et sur la droite polaire du point que l'on considère sur la courbe. On aura donc ses coordonnées en cherchant les valeurs de x^ y^ z qui satisfont aux équations
{x — x')da:' -h (y —y)dy -h {z — z)dz' =0, (^ ,r:')d\r' -+- (j — 7')^/ "+- (^ — z')fPz'= ds'\ (^ — a:\){dyd*z'— dz'd'f) -\- [y —y){dz'd'x' — dr'd'z')
-4- (2 — z')[dx'd}y— dyd'x) =0.
Ces valeurs de x^ y^ z sont données par les formules suivantes :
z^:^ = — {dy' [d/ d}z' — d:û d}f) — d£(dz'd}x' — dx' d'z')\ y'-y=^Xdx'{dx'd}y -^dfd^x') - dz'{dY'd}z'^d7!d'y')\ a:— ar' = ^j£&'(j2'rf»x' — dx'd'^z') — dy{dx'd'y— d/d'x')],
R désignant le rayon de courbure^ dont la valeur e8t
dy*
^{dr'd'z''^dz'd*y'y-i-{dz'd*x'—dx'd'g!y-i-{dx'd^y—dyd*x'y
Si, au lieu de déterminer les coordonnées du centre de courbure, on voulait les équations du lieu de ces centres, il suffirait d'éliminer x\ y\ z' entçe les trois premières équations et celles de la courbe donnée^ les deux équations résultantes entre x^ y^ z seraient celles du lieu demandé.
291 . Contact des courbes à double courbure, - — Cette théorie est semblable à celle que nous avons donnée pour les courbes planes \ seulement, au lieu de couper les courbes par des droites parallèles à un axe, il faudra les couper par des plans parallèles h Tun des plans coordonnés, par exemple au plan x^ y. Ainsi, lorsque deux courbes auront un point commun x', y\ z\ et qu'en les coupant par un plan parallèle à un plan x^y et situé à une distance infiniment petite àz' du point commun, la distance des deux points ainsi obtenus sur ces courbes sera infiniment petite, de l'ordre /i -+- i , on dira que les courbes ont un contact de Tordre n. On reconnaît facilement que Tordre de cette distance infiniment petite est le même pour des plans coordonnés quelconques, pourvu que les tangentes à ces c&urbes au point commun ne soient pas parallèles au plan sécant.
4o8 IVRE II.
La projection d'une droite sur un plan étant égale au produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur ce plan, le rapport des longueurs de la droite et de sa projection a une limite finie, si la limite de cette droite ne fait pas un angle droit avec le plan. Donc les trois projections orthogonales d'une droite variable de grandeur et de direction sont, en général, des grandeurs du même ordre que cette droite 5 et il en est toujours ainsi pour deux de ses projections au moins : il ne peut y avoir qu'une d'entre elles, au plus, qui soit infiniment petite par rapport à cette droite. D*où il suit que, pour que deux courbes à double courbure aient un contact de Tordre n, il est nécessaire et suffisant que deux de leurs projections aient un contact de cet ordre ; ce qui ramène à la théorie du contact des courbes planes. Ainsi les conditions pour que ce contact ait lieu au point dont les cootdonnées sont a:', y'j z' consistent en ce que, pour la valeur z' de z, les quantités
dx
dy
rf'x
dz-'
dz-''"'
dz''
dz"
aient les mêmes valeurs d'après les équations de ces deux courbes. On obtiendra donc encore la courbe osculatrice d'une espèce donnée, en déterminant les coefficients de ses équations, de manière qu'il en résulte le plus de dérivées communes avec la courbe donnée, à partir des premières. Si les projections sur un plan avaient un contact plus élevé que les projections sur un autre, il suit de ce qui précède que le moins élevé des deux exprimerait Tordre du contact de deux courbes proposées.
292. Droite osculatrice. — Les équations générales d'une droite étant ^
xz=zaz-\' OL^ jr z= bz-i-^^
les équations qui détermineront a, a, i, S seront
dz uz
les dérivées -7-7? -^ étant tirées des équations de la courbe
dz dz
donnée. La droite osculatrice a donc pour équations
dx' dr'
ce sont celles que nous avons déjà trouvées par la tangente.
293. Cercle osculateur. — Les équations les plus commodes pour la détermination d'un cercle dans Fespace sont celles d'une sphère et d'un plan. Soient donc les équations générales du cercle
(2) z -f-ax-f- ôj^ + c = o;
difTérentiant deux fois ces équations, en considérant x elj comme fonctions de z, et les autres quantités comme constantes, on aura les équations suivantes :
dr^ dx^ d^Y d^x
/*.v dx . dy
(6) «£fH.6££=o.
^ ' dz* dz'
On .^émettra dans ces six équations, au lieu de x, y^ Zy les coordonnées du point donné de la courbe, et l'on rempla-
4lO LIVRB II.
cera toutes les dérivées par celles qui donneront les équations de cette même courbe. On en déduira les valeurs de six des constantes a, &, c, a, 6, y, R, et il en restera une indéterminée, parce qu'on peut faire passer une infinité de sphères par un même cercle.
Les coefficients a, 6, c sont entièrement déterminés, el Téquation du plan devient, en désignant par x\ y'j z' les coordonnées du point donné,
Cette équation n'est autre chose que celle du plan osculateur, dans laquelle z est pris pour variable indépendante. Les équations (3), (4)) dans lesquelles on regardera a, 6, y comme variables, représentent deux plans qui sont perpendiculaires au plan (2), eu venu des équations (5), (6). Les centres des sphères sont donc sur une perpendiculaire au plan du cercle, et elles couperont toutes ce plan suivant un même cercle, puisqu'elles passeront d'ailleurs par un même point (x',j^', z').
Il est facile de reconnaître dans les équations (3), (4) celles qui déterminent la droite polaire relative au point (x',j^', z^) quand on prend z pour variable indépendante; et comme le centre du cercle s'obtiendra en cherchant l'intersection de cette droite avec le cercle, on retrouve, d'après ce nouveau point de vue, tout ce qui avait été déterminé relativement au cercle osculateur, par des considérations différentes.
Contact des surfaces,
294. Lorsque deux surfaces ont un point commun [x'^y^ z'), et qu'en faisant varier x'^y* de quantités infiniment petites quelconques dx\ dj' la différence des va-
leurs de z correspondantes est un infiniment petit de l'ordre /z -H I, on dit que ces surfaces ont un contact de l'ordre n. L'ordre de cette différence est le même pour toutes les directions qui ne sont pas parallèles aux plans tangents à ces surfaces, au point que l'on considère : il résulte de là que deux surfaces auront uu contact de premier ordre lorsque, pour une même valeur de x\ y\ on tirera les équations de
l'une et de l'autre des mêmes valeurs pour z\ -j-jt ^•
Elles auront un contact de second ordre lorsqu'elles donneront, en outre, les mêmes valeurs pour les coefficients différentiels partiels du second ordre
éf^z' d}z' iPz!
Enfin le contact sera de l'ordre n lorsque tous les coefficients différentiels seront les mêmes jusqu'à cet ordre inclusivement.
La surface osculatrice d'une espèce donnée se déterminera comme les courbes osculatrices, en établissant le plus grand nombre possible de dérivées communes entre les fonctions qui expriment la valeur de z dans son équation et celle de l'autre surface que Ton considère.
295. Plan osculateur à une surface. — Soit l'équation générale du plan
z := aa: '\- by -\- c\
on aura, pour déterminer a, b^ c, les équations
dz' dz'
z' = aar'4- V-»-^» d^=^^ dP^^'
^-;> ^-jetant tirées de l'équation de la surface donnée. L'é-
4l2 LIVRE II.
quation du plan osculateur sera donc
Ce plan n'est donc autre chose que le plan tangent.
296. Sphère osculatrice à une surface. — L'équation la plus générale d'une sphère ne renfermant que quatre constantes arbitraires, on ne peut, en général, établir un contact du second ordre entre une sphère et une surface donnée, puisqu'il en résulterait six équations de condition. On ne pourra donc établir, entre ces surfaces, qu'un contact du premier ordre. Il restera une constante indéterminée dans l'équation de la sphère, et l'on pourra en profiter de manière à déterminer un contact du second ordre avec l'une des courbes que l'on peut tracer sur la surface ^ mais ces recherches nous écarteraient de notre objet.
297. Contact des courbes et des surfaces, — Si, à partir d'un point commun à une courbe et à une surface, on mène des parallèles à l'axe des z, on dira qu'il y a un contact de l'ordre w, lorsque la différence des valeurs correspondantes de z pour la courbe et la surface sera infiniment petite de l'ordre w -i- i . On arrivera à des conditions du même genre que dans les cas précédents, et dans le détail desquelles nous n'entrerons pas.
298. Développées. — Si Ton considère une quelconque des normales en un point d'une courbe à double courbure, elle sera tangente à la surface polaire. Le plan normal mené par un point de la courbe, infiniment voisin du premier, coupera cette normale en un point qui sera commun à deux normales infiniment voisines. En faisant pour la seconde normale ce qui a été fait pour la première, et continuant
ainsi, on aura une suite indéfinie de normales à la courbe donnée, dont chacune rencontrera la suivante, et dont les points de contact avec la surface polaire seront infiniment rapprochés les uns des autres. Le point de contact des deux normales consécutives, se trouvant sur Tintersection des deux plans normaux, se rapproche indéfiniment de la surface polaire, qui est le lieu des limites des intersections des plans normaux consécutifs.
Cette suite de normales détermine donc un polygone dont les côtés sont infiniment petits, et dont la limite est une courbe tangente à toutes ces normales, et située sur la surface polaire : on l'appelle désfeloppée de la courbe donnée.
Comme on peut choisir une quelconque des normales à la courbe au point de départ, on obtiendra une infinité de développées aussi rapprochées que Ton voudra, et toutes seront sur la surface polaire, qui peut être considérée comme en étant le lieu géométrique. Relativement à ces courbes que nous avons nommées développées, la première prend le nom de dév^eloppante, à cause d'une propriété analogue à celle que nous avons reconnue dans les courbes planes, et dont nous allons donner la démonstration.
Soient MN, M'N' (Jig. gS) deux droites normales en M et M' à la courbe en question, N et N' leurs points de contact avec la développée ; nous allons prouver que la différence des loïigueurs M'N' et MN est égale à l'arc NN', à un infiniment petit près, du second ordre au moins. En effet, si aux points M etN on conçoit deux plans perpendiculaires a MN, la longueur M'P sera du second ordre, puis<[ne la courbe M'M est tangente au plan; de plus QP surpasse; MM d'une quantité infiniment petite du second ordre. On peut donc prendre N'Q comme égale à la différence M'N' — MN, à une quantité près du second ordre. Mais la limite du rapport de N'Q à la corde NN' est l'unité, puis<]ue les anf^li's
4l4 LIVRE II.
Q et N du triangle rectîlîgne QNN' tendent vers des angles droits. Donc N'Q diffère de Tare N'N, tout au plus d'un infiniment petit du second ordre-, donc, enfin, la dîfiërence de deux normales consécutives MN, M'N' est égale à Fafc NJN', compris entre leurs points de contact avec la développée, plus ou moins une quantité infiniment petite par rapport à cet arc^ et qui, par conséquent, peut être négligée sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des rapports ou des sommes.
n suit de là que, si en deux points quelconques de la développée on mène des tangentes terminées à la développante, la différence de leurs longueurs est rigoureusement égale â l'arc compris entre les points de contact.
Et l'on voit par là que la diiférence entre M'N' — MN et l'arc NN', qui devait être au moins du second ordre, était réellement égale à zéro.
Maintenant supposons un fil qui coïncide avec la développée à partir d'un point quelconque, où il s'en sépare tangentiellement et se prolonge jusqu'à la développante. Si on le déroule en le laissant toujours tangent à la développée, il prendra successivement la position des diverses normales qui sont tangentes à cette courbe; et ces normales croissant précisément de la même longueur que le fil qui se déroule, ce sera toujours le même point de ce fil qui se trouvera sur la développante. Cette courbe sera donc décrite par l'extrémité du fil pris dans la première position. C'est cette propriété qui a fait donner aux deux courbes, l'une par rapport à l'autre, les noms de développée et de dé- {^eloppante.
299. Le lieu des centres des cercles osculateurs d'une courbe à double courbure n'est pas une développée de cette courbe. En elïet, deux plans osculateurs consécutifs se coupent suivant une droite qui a pour limite la tangente, et ils
forment entre eux un angle infiniment petit du premier ordre. La distance du centre de courbure contenu dans le premier, au second plan, est donc un infiniment petit du premier ordre; or sa distance à la normale contenue dans ce second plan est plus grande que sa distance au plan : donc cette normale n'est pas tangente à la courbe qui passe par ces deux centres, puisqu'il faudrait pour cela que cette distance fiit un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Le lieu des centres de courbure n'est donc pas une des développées, lorsque la courbe que l'on considère n'est pas plane.
300. Les développées d'une courbe à double courbure jouissent de la propriété remarquable de se réduire à des lignes droites quand on développe la surface polaire sur un plan.
Pour le démontrer, nous considérerons un polygone infinitésimal inscrit dans la courbe donnée, et ayant ses côtés égaux; ce qui revient à prendre l'arc pour variable indépendante. Sur les milieux de ces côtés, nous concevrons des plans perpendiculaires, dont les intersections formeront les arêtes de la surface développable qui, à la limite, devient la surface polaire.
Or, si du point du milieu d'un côté quelconque on trace une droite dans le plan normal, elle coupera l'arête commune à ce plan et au suivant, en un point qui, joint au milieu du côté suivant, donnera une normale à ce côté-, et il est facile de voir que ces deux normales font des angles égaux avec l'arête que nous avons considérée.
Cette seconde normale prolongée coupera l'arête commune au second plan normal et au troisième, en un point qui, joint au milieu du troisième côté, formera une normale à ce côté, faisant avec la seconde arête le même angle que la normale précédente; et ainsi de suite indéfiniment.
4l6 LIVRE II.
Maintenant, si Ton développe sur im plan la surface qui renferme toutes ces arêtes, deux normales consécutives se rabattront Tune sur l'autre, puisqu'elles font le même angle avec l'arête sur laquelle elles se coupent, et le polygone infinitésimal, formé par les intersections de ces normales successives, aura tous ses côtés sur une même droite. Ce résultat, ayant lieu quelle que soit la petitesse des côtés de ce polygone, aura lieu pour la courbe limite, qui est une quelconque des développées de la courbe proposée.
Donc, dans le développement de la surface polaire sur un plan, toutes les développées de la courbe deviennent des lignes droites.
301 . Dans le développement de la surface polaire, les côtés infiniment petits qui composent la développée ne changeant pas de longueur, un arc quelconque de cette courbe a la même longueur avant ou après le développement 5 et il en serait de même de toute autre ligne tracée sur cette surface. Donc le plus court cbemin d'un point à un autre sur la surface polaire est l'arc de la développée qui passe par ces deux points, puisque, devenant une ligne droite, il est plus court que tout autre après une transformation qui n'a pas changé les longueurs.
On peut encore remarquer que, si l'on suppose un fil appliqué sur le polygone formé par les normales successives que nous venons de considérer, et prolongé suivant un quelconque des côtés jusqu'au milieu du côté correspondant du premier polygone, inscrit dans la courbe donnée, et qu'ensuite on développe ce fil de manière qu'il soit successivement dans le prolongement de chacun des côtés du polygone sur lequel il est appliqué, son extrémité passera par tous les milieux des côtés de l'autre polygone. Donc, si l'on passe aux limites des polygones, on retrouvera la propriété démontrée précédemment par des considérations dillerentes.
302. Équations des déi^eloppées . — Sî Ton désigne par x'^y\ z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe proposée, l'équation de la surface polaire s'obtient en éliminant ocf ^y' ^ z' entre les deux équations de la courbe et les deux suivantes :
{x^s^) dx' -\- [y ^f)dy -+- (z — z' ) dz' = o, {x — j/) ^x' + (r — y)d'x' -t- (z — z') d'z! z= ds'K
Si maintenant on considère un quelconque des points dont les coordonnées x^y^ z satisfont à ces équations, on passera de ce point au point voisin de la développée si la droite qui joint ces deux points est dans le prolongement de celle qui joint les points (x\y\ ^'), {x^j^ z)-^ ce qui aura lieu si les différentielles dx^ dj^ dz sont proportionnelles aux différences x — x\ y — j^', z — z'. On tirerait de là les deux équations
dx X — a^ dy y — y'
dz z — z' dz z — z'
Mais une seule sera nécessaire, parce que les précédentes expriment que les points (x, y^ z^ ne cessent pas d*être sur la surface polaire. Une quelconque de ces deux équations étant jointe aux deux précédentes et à celles de la courbe donnée, on aura cinq équations entre lesquelles on éliminera x\ y\ z\ et l'on obtiendra deux équations différentielles qui conviendront à l'une quelconque des développées.
Application des théories précédentes à l'hélice,
303. Si Ton désigne par aie rayon de la base du cylindre, et par m la tangente de l'inclinaison de l'hélice sur le plan de cette base, les équations des trois projections de cette courbe seront
a; == a cos — > r = « sm — i ar^ -+- r» = /l^ ma mit
Caleulin/, D.-^l* 27
4l8 LIVRE II.
L'axe des x passe par le point où Thélice perce le plan de la base^ et cette courbe, en s'élevant, tourne de Taxe desx positifs vers Taxe des y positifs.
Ces équations différentiées donnent
dx-=z sm — az, dy ^=. — ces — az, as •=. ^ dzy
m ma m ma m
d}x = CCS — dz^. iPr = sin — — dz^^ d}s z=z o.
m^a ma m^a mu
L'équation du plan osculateur devient alors, en prenant z pour variable indépendante,
z — z' = mx sin h my cos — •
ma ma
Ce plan fait avec le plan de la base un angle dont le cosinus
est / ^ et la tangente m. Il est le même que celui de
Thélice avec le même plan.
L'équation du plan normal sera
m[z — z' ) = x sm y cos — •
ma ma
L'angle de contingence, dont l'expression générale est
Ti = — Jd'^x' -}- ^^ r^ 4- r/^z- —-d^s\ ds
devient, dans le cas actuel,
am sj\ -t- /w' L'angle de deux plans osculateurs consécutifs est
dz
/ ' „ ou ;/^u.
a sj\'\- m^
Le rayon du cercle oscillateur, dont la valeur générale est R= — 5 sera égal à a(n- m*) •, sa grandeur est donc constante et surpasse de aw? le rayon de la basé. Pour connaître sa direction, il faut chercher Tintersection du plan normal et du plan osculateur* Les équations combinées donnent
z = z\ ^'— ortang— .
Donc le rayon de courbure est constamment parallèle au plan de la base, et rencontre Taxe du cylindre. Le centre de courbure se meut donc sur un cylindre ayant même axe que le premier, et pour base un cercle dont le rayon est arn?. Il décrit sur ce cylindre une hélice dont le pas est le même que celui de l'hélice proposée.
On trouvera le même résultat en calculant les coordonnées du centre de courbure. Leurs valeurs sont
3 = 2', r = — am^ sin — 9 x r=: — û/w^cos — ?
ma ma
et Ton en déduit immédiatement les conséquences précédentes.
Déterminons maintenant les équations d'une arête quelconque de la surface polaire, c'est-à-dire de l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins. Ces équations sont les suivantes :
m(z — z^) = a: sin rcos — 9
ma ma
X CCS h r sin — = — am^.
ma ma
Cette droite est nécessairement perpendiculaire au plan osculateur, et on le vérifiera facilement au moyen de ses
équations. Gomme d'ailleurs elle passe par le centre de courbure et qu'elle est perpendiculaire au rayon de courbure, elle est tangente au cylindre sur lequel se meut l'extrémité de ce rayon, et dont la base a pour rayon aw?. De plus, il est facile de reconnaître qu'elle est tangente à Thélice décrite par cette extrémité. En effet, puisqu'elle est perpendiculaire au plan oscillateur, elle fait avec le plan de la
base un angle dont la tangente est — : or l'hélice qui est le
lieu des centres de courbure, et dont nous venons de donner les équations, est tracée sur le cylindre dont le rayon est
am', et fait avec sa base un angle dont la tangente est —
Donc l'arête de la surface polaire est tangente à cette hélice, et la surface polaire est Thélicoïde développable dont cette hélice est l'arête de rebroussement.
Mais on sait que la sous-tangente d'une hélice sur le plan de sa base est égale à l'arc de cette base, depuis l'origine de l'hélice jusqu'à la projection du point de contact. Donc la trace de la surface polaire sur le plan (oy) est la développante de la base du cylindre dont le rayon est aw?.
304. Si Ton veut avoir Téquation de la surface polaire, il faut éliminer z^ entre les deux équations
m[z — 2') = jî sin y ces — t
ma ma
X cos 1- r sin — zir — am^,
mxi " ma
Ajoutant les carrés des membres de ces deux équations, on obtient
substituant dans la seconde, on trouve l'équation cherchée,
Jf cos
CÀLCrL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 4^'
qui est
\ ma y m^ a^ j
+ jsinl — =hI/' ■ 1 = — «'»».
•^ \ma^\ m'a' J
La trace de cette surface sur le plan (xy) a pour équation
a: ces \ / — -— 1 ±Y sm I / : 1 = — û/n*.
Cette courbe est la développante du cercle dont le rayon est am^^ et elle prend naissance au point de ce cercle situé sur l'axe des a:, et du côté des x négatifs-, ce qui s'accorde avec une des propositions précédemment démontrées.
Une hélice pouvant avoir ses deux courbures égales à celle d'une courbe quelconque en un de ses points, son osculation sera d'un ordre plus élevé que celle du cercle \ elle donnerait doûc une idée plus exacte de la courbe à laquelle on la comparerait. Les deux constantes 771 et a se détermineraient en égalant ces deux courbures à celles de la courbe donnée, au point considéré.
