DANS LES DONNÉES DU CALCUL
i . La résolution des équations du deuxième degré conduit quelquekâs à extraire des racines carrées de quantités négatives. Ces sortes d'expressions ne représentent pas des nombres, soit positifs, soit négatife; on les désigne sous le nom de quantités imaginiùres. Nous n'avons pas pour objet d'examiner ici à quelles circonstances correspondent ces formes dans les questions proposées; nous nous bornerons à dire qu'en substituant ces expressions à l'inconnue, Téquaticm que Ton avait à résoudre devient identique, pourvu que les iacines carrées des quantités négatives soient traitées d'après les règles ordinaires de l'Algèbre, et que l'on considère leur carré comme s'ob tenant par la suppression du radical.
Si l'on a, par exemple, l'équation
on en tire les deux valeurs imaginaires
et l'on peut vérifier que la substitution de cette valeur dans l'équation la réduit à o = o,
D en serait de môme si, au lieu de y'— ^% on mettait b v^^, et c'est ce que l'on fait ordinairement, afin que la seule quantité imaginaire à
considérer soit toujours /^. Les valeurs de x se trouvent ainsi mises
SOUS la forme
Il semble d'abord que toutes les considérations auxquelles ces sortes d'expressions peuvent donner lieu soient relatives aux circonstances qui leur donnent naissance dans les questions dont elles présentent la solution ; mais on a trouvé de très-grands avantages à les introduire dans les données mêmes de certains calculs, et c'est sous ce point de vue que nous allons les considérer brièvement.
Sans attacher aucune idée de quantité à l'expression v^^, nous convenons de la traiter de la même manière que si c'était un nombre dont les puissances successives seraient
v/^, —I, — V^—i, -hi, v^— 1,...,
les quatre premières se reproduisant indéfiniment dans le même ordre. Rien ne s'oppose à ce que Ton fasse des calculs algébriques dans
lesquels ^—i soit traité de cette manière; il ne s'agit que de savoir s'il y a quelque intérêt à le faire, et si de pareilles opérations peuvent offrir de nouvelles ressources à l'analyse. Il pourra quelquefois être
plus commode de remplacer v/— i par une lettre dont les puissances
se distinguent toutes les unes des autres, tandis que celles de ^Z— i se
reproduisent périodiquement. En désignant ^—\ par \ nous entendrons que \ soit traité comme un facteur ordinaire, d'après toutes les règles démontrées dans le cas des quantités réelles ; seulement, après tous les calculs effectués, on remplacera les puissances
par
2. Lorsque nous poserons une équation entre des quantités réelles et imaginaires, comme
nous entendrons toujours que l'on sait d'avance que A = A' et B = B'. Ces dernières équations ne seront jamais des conséquences de la première; c'est, au contraire, la première qui en est la conséquence, et nous n'attacherions aucun sens à cette équation si nous ne savions, indépendamment d'elle, que les parties réelles sont égales de part et d'autre, ainsi que les coefficients respectifs de v^— i. Nous insistons
sur ce point, parce que la plupart des auteurs l'entendent de la manière inverse.
3. Ayant bien établi de quelle manière nous traiterons Vexpression v'^, nous allons montrer, par un premier exemple, l'avantage que Ton peut avoir à l'introduire dans le calcul.
Considérons les deux expressions
cosx -H /^sina:, cos/ ■+- v/^sinjr,
et multiplions-les entre elles, dans le sens que nous attachons ici à cette opération ; nous trouverons
cosjc cosj — sinjc sinjr -♦- v^— i(sin^ cosjr -+- sin^ cosx), ^ ou
cos ( j: H- /) -t- /^sin ( j: -h j).
Nous pouvons donc poser
(cos JT •+■ y/— 1 sin x) (cos/ h- y/— i sinj) = cos (x -t- j) -+- y/^ sin(x -hjr) ,
puisque nous avons prouvé d'avance que les parties réelles étaient respectivement égales, ainsi que les coefficients de v^— i.
Et l'on conclut de là que pour diviser deux expressions de cette forme l'une par l'autre (en entendant par quotient une expression qui, multipliée par le diviseur suivant les règles convenues, reproduirait le dividende) il suffît de retrancher l'arc qui se trouve au diviseur de celui qui entre dans le dividende.
En multipliant le produit de ces premières expressions par une troisième cos 3 -H /^sinz, il suffira encore d'ajouter les arcs x-hy et j et 2, ce qui donnera la nouvelle équation
(cos>r-H {T^ siux) {cosjr -+- y/ — \ sin/) (cosz H- y/^sinz) = cos{x-i-/-H3)-H v^^sin(ar-h/-f"z);
et il est facile de voir que, quel que soit le nombre des facteurs de cette forme, leur produit effectué donnera toujours pour partie réelle
le cosinus de la somme de tous les arcs, et pour coefficient de |/— i le sinus de cette même somme. On pourra donc poser une équation semblable à la dernière, en supposant un nombre m quelconque de focteurs, puisque les parties réelles sont démontrées égales, ainsi que les parties imaginaires.
En supposant le cas particulier où or = j^= z = . . - , on aurait la formule suivante, qui est due à Moivre :
(i) (cosor H- v/-^sina:)'"= COS/7ÎX-4- v^— isin/wj:;
il est donc prouvé que, si Ton forme la puissance m du binôme
cosj:h- v/— isina: d'après les règles ordinaires, la partie réelle sera
égale à cos/7z:r, et le coefficient de yJ—\ à sin/wo:. Or le développement de la puissance m d'un binôme s'effectue au moyen d'une formule très-simple ; on aura donc ainsi le développement général de cos/7tx et sinm J7, m étant un nombre entier quelconque. Ces formules sont
eos/;i j: = cos'".r ^ cos"*~'j:sm'j:
««i • m(m — i){m — 1k) , . . smmx = m cos"^' x sinx — — ^ -^ cos"* x sm' j: -t- . . . •
On peut observer que le développement de
(cosx — v/-"isiii'^)"' ne différerait de celui de
(cosx -h /— isinjc)"*
que par le signe des termes où se trouvent les puissances impaires de v/^ I , et que, par conséquent,
(coGx— v/ — ïsinx)'"= cosmx — \^—ismmx.
4f. En entendant par racine «'*""* d'une expression imaginaire une autre expression qui, élevée à la puissance «, suivant le sens convenu,
reproduirait la première, on voit que cos - =i= v ~ i sin - est une racine n^"** de C0SJ7 =i= y^— isin^:, puisque nous avons prouvé que, pour élever une semblable expression à la puissance w*''^, il suffit de multiplier l'arc par n. On a donc
(cos X ±i J—i sin X ]^ — cos - ± i/— i sir^ - î
et si l'on élève les deux membres à la puissance p^ II vient
(cos:c=t i/— isinj7)'»= cos- j:=tv/--isin- x,
ce qui montre que l'équation (i) est vraie quand m est un nombre fractionnaire quelconque -9 en entendant seulement par là que
cos-j:±v/^8in2j:, élevé à la puissance /?, donnerait la puissance p de co8j:± v^—isinjc, et que, par conséquent, il est une des racines nf^"^ de cette puissance /?.
Uéqualion (i) est encore vraie si m est égal à un nombre négatif — /i. En effet,
(cosa:-+-v/^sinj:)~'"= 7 , . — \ïï = 7 T^"^- T'
(cosxH-V — ismj7j (cos/?xH-v/— ismwxj
or diviser par cos/ix h- y/— isin/?.r, c'est trouver une expression qui, multipliée par ce diviseur d'après les règles communes, donne pour
produit le dividende; ce quotient est donc cos/ix -- /— isin/zx. Donc
(cosx -h yj— isinj7)~"= cos(— nx)-{-yJ — isin(— «x). .
La formule (i) est donc vraie, quelque valeur réelle qu'ait wi, en observant toutefois que, si la puissance m est susceptible de plusieurs valeurs, nous avons seulement prouvé ici que le second membre en est une.
5. Nous allons résoudre maintenant la question inverse, qui consiste à développer cos^^x et sin'"^ au moyen des cosinus et sinus des arcs multiples de x, m étant un nombre entier.
Pour cela nous poserons
cosa: -+- v/ — I sinx = m,
cosx -^ /— isinx = c, d'où
!iC0SX = Z^H- p,
et, par suite^
2'"C0S"'j: = tt'"-+- /??//'"■' V H W*" 'p'-h. . .H- //2«f'"~'-h p"*.
Observant maintenant que «p = i, et que a*-h p*= acosA-x, on aura
2"'cos"j:=2COSw:c-hawcos(/w — 2)07 -na C08(m — i)x-h....
Si m est pair, le terme qui se trouve au milieu du développement de
(« -h p)"* se réduit à ^^ et forme le dernier terme
du développement de 2'"cos'"d?. Si //i est impair, les deux termes du milieu sont en uetu de la forme
rn-h'r m—i /n— i/n+i
a»(^* et «*(^*,
expressions qui se réduisent respectivement à u et v, puisque ifp Le dernier terme du développement de 2'"cos'"x est alors
2 ■ -, — ^ r COSX.
On développera maintenant sin^jc en observant que
2 xZ—isinjc = u — p,
d'où
2'"(v/— 0'"sin'"x = tt"— wa'"-'c^ '^ ' »'«-3..a
ce qui signifie toujours que les parties réelles sont les mômes de part
et d'autre, ainsi que les coefficients de ^—i, s*il y reste, ce qui n'arrivera que SI m est impair.
Supposons d'abord m pair : les termes à égale distance des extrêmes seront de même signe, et, en les réunissant deux à deux, on trouvera
2'"(-- i)* sin'"x = 2C0S/^/x — - o.m cos(7w — 2).r
-f- 2 — ^ cos ( /w — 4 ) j: — . . . ;
le dernier terme sera
/W(/lî-l)...^^-hlj
le signe -t- correspondant à — pair, et le signe — à — impair. Si m est impair, le développement pourra se mettre sous la forme
en remplaçant partout w par i . Si donc on observe que
w* — p*= 2v/— isin^x, on aura, en ne prenant que les coefficients de yf^i
2*«( — i) a sin"'j:= asin/wx — 2/7isin(/7i — 2)x
-H 2 — î ■' sm{/iï — 4 ) -îT — . . . ;
le dernier terme sera
.<%mx,
le signe + ayant lieu quand sera pair, et le signe — quand il
sera impair.
6. Examinons maintenant en quoi consiste l'avantage que l'emploi
de ^— I a procuré dans la recherche des développements de cos"x et mTx.
Nous avons remplacé 2 coso? par
COSJT -H v/--Tsinjr -\- cosor — yj-— \ sinx, ({ui lui est identique, puisque les deux termes
^— I sinx et — yj— i sinx,
43o lîOTE I.
traités comme s'ils représentaient des nombres, se détruisent. £t
môme si, au lieu de v^— i, on met une quantité X indéterminée, on pourra remplacer acosx par
(coso? -f-Xsina:)-t-(cosa: — XsinJ?);
et quelque calcul que Ton effectue sur cette expression, le résultat sera nécessairement indépendant de >, et les puissances d'un même degré quelconque de cette lettre auront zéro pour coefficient. Or prendre seulement les termes réels du résultat, c'est négliger les puissances impaires de X et ne conserver que les puissances paires, ce qui est permis, puisque les coefficients de chaque puissance de > sont nuls. Mais quand on remplacera X* par i, il pourra y avoir des réductions entre les termes correspondant à des puissances différentes de X, et notamment avec ceux qui ne renfermaient pas X, et qui sont précisément ceux que Ton trouverait en ne transformant pas d'abord 2Cos:r. n peut donc résulter de là de nouvelles combinaisons qui, sans altérer la valeur du résultat, lui donnent une terme plus commode. Cela revient à ajouter au résultat des quantités qui se détruisent ; mais, à chaque instant, dans l'Algèbre, on voit de pareil artifices faciliter les transformations; et ce qui fait que, dans le cas actuel, on en retire réellement un très-grand avantage, c'est que les deux binômes dont la somme remplace a cosx sont tels, que les puissances de chacun d'eux s'effectuent immédiatement par la multiplication de l'arc, et que le produit des puissances sen]J)lables de l'un et l'autre est l'unité. D résulte de là que la puissance /w*^"** de cosj: se trouve immédiatement exprimée au moyen des cosinus des arcs multiples de ^; et il en est de même pour sin'^j:.
Usage des lignes tri gonométriques pour V extraction des racines des quantités réelles ou imaginaires,
7. Les racines de degré m d'un nombre réel positif ou négatif ± A sont les racines de l'équation
ces racines peuvent se ramener à celles de l'unité, posant y = ax, a désignant la racine n"""^ arithmétique du nombre A; l'équation proposée se trouve ainsi ramenée à la suivante :
o;^' ip I = o.
dont nous allons déterminer les m racines, qui sont toutes inégales, puisqu'il n'y a pas de commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée. Soit d'abord
a;"*— i=o, ou x"'= I.
Nous pouvons représenter i par une expression de la forme
. C0S2-H v^—isinz,
dont nous savons qu'il est facile d'extraire la racine. Il sufQt de poser z= 2/i7r, 72 étant un nombre entier quelconque positif ou négatif; et l'on aura identiquement
I = cos27i7r H- v/ — isina/zTT.
Donc l'expression
(i) cos hv/— isin
donne les racines nfi*^ de i, et, par conséquent, des valeurs de x pour toute valeur entière de n.
Or on reconnaît immédiatement que l'expression (i) ne change pas quand on augmente ou qu'on diminue /z de m ou d'un multiple entier qndconque de m. Il suffit donc, dans la série indéfinie des nombres entiers positifs ou négatifs, d'en prendre m consécutifs quelconques; ils donneront toutes les valeurs de l'expression (i). De plus, il est facile de voir qu'elles seront toutes différentes, parce que deux de ces arcs ne peuvent avoir le même sinus et le môme cosinus; donc toutes les racines de l'équation
seront données par la formule
ini: . I . 2«7r
X = cos ± y — I SI
sm
dans laquelle on donnera à n les valeurs o, i, 2,..., jusqu'à ce que l'on ait m valeurs pour le second membre ; car c'est comme si l'on donnait kn m valeurs consécutives, les unes positives, les autres négatives.
Si m est pair, on posera m = 2/-, et il viendra
X = cos-7-±v/— ism ,
43 a NOTE I.
Il faïudra alors donner à /i les valeurs o, i, a,..., X*. Les deux extrôoies donnent x = i,j: = --i,et toutes les autres valeurs de x sont imaginaires, conjuguées et réciproques deux à deux. Si Ton a
il faudra donner à n les valeurs o, i. 2, . . . , k,
La première donne ;r = i ; les autres sont toutes imaginaires, conjuguées et réciproques deux à deux.
