Soit maintenant

.r^H- 1 = 0 ou J7^=r — I, d'où J7='^~.

On peut encore donner à — i la forme cosz h- v/— isinz, en posant z = (2/1 -H i)7r. On aura donc des valeurs de x par la formule

X = cos ^ h 1/ — I sm ^ — ;

il suffira de prendre m valeurs consécutives de /i, parce qu'elles correspondront toutes à des sinus ou cosinus différents, et toutes les autres valeurs de n fourniront les mômes valeurs pour x. Toutes les racines de Téquation

sont donc données par la formule

X — cos -i — ± yJ— I sm 1

en donnant à n des valeurs positives depuis zéro, jusqu'à ce qu'il en résulte m valeurs pour le second membre. Si /w= 2X-, les valeurs de n seront o, i , 2, . . . , X* — i ; celles de x seront toutes imaginaires, conjuguées et réciproques. Si /w = 2X--hi, les valeurs de n seront o, I, 2,. . ., Â^, la dernière donnera x = — i ; toutes les autres valeurs de X seront conjuguées et réciproques.

Les racines de d= i étant connues, on aura celles de =b A en les multipliant par la racine arithmétique de A.

Les facteurs réels du premier et du second degré, dans lesquels peuvent se décomposer les binômes x" — i et x^ -4- 1 , peuvent être représentés par une construction fort simple, qui dépend de la divi-

sion du eercle en parties égales, et qui a été donnée par le géomètre anglais Cotes.

^. Cherchons maintenant à extraire la racine m**^ d'une expression de la forme

Nous pouvons la mettre sous la forme

p(cosz=fcv^— isinz), en déterminant p et s par les deux équations

p C0S3 — a^ ps\xiz — b\ d'où

p = ± i/rt^ -h /?', cos3 = -j sinz = -»

Pour plus de commodité, nous ne prendrons que la valeur positive de p. Désignons par f le plus petit arc positif ayant pour cosinus -

et pour sinus -\ on pourra, sans que ces lignes changent, Faugmen-

P ter d'un nombre quelconque de circonférences, et Ton aura

a ± b^—i ~ p[co8v^-H 2/?7r)±: y/— isin(y -h %mt]\.

On aura des racines rrf^"^ de cette expression en prenant la racine wh** arithmétique de p, et la multipliant par la racine du second facteur, que Ton obtiendra par la division de l'arc ; on a ainsi

pm ( cos I zt yJ— i sm î ) •

•^ \ ni ^ '''y

n suffit évidemment de donner \n m valeurs consécutives , positives ou négatives; toutes les autres donneraient les mêmes résultats. De {dus, ces m valeurs de n donnent des valeurs différentes pour les si*

DUS ou cosinus de -2 — - — ; donc, en donnant à /t les valeurs o, i,

a, . . . , i9t — I, toutes les valeurs de la racine cherchée seront données par la formule

V/l±:6/— I =p'»(C0S-î^ ± /— '8in^^ M

CàU. inf, D. — I. 28

les signes supérieurs de v/^ se correspondant, ainsi <iue les inférieurs.