La transformation de

a±i b v/^ en p (cosa d= v^^sina)

ramène toutes les opérations sur les quantités imaginaires aux opérations sur les expressions de la forme

cos3±\/— isinz,

et nous avons vu que celles-ci se ramenaient toutes aux opérations immédiatement inférieures sur les arcs, propriétés tout à fait analogues à celles des exponentielles.

Cette analogie sera encore augmentée par les considérations suivantes.

Représentation des sinus et cosinus par des exponentielles

imaginaires.

ii . Si dans le développement de e* on change xenx /^, et qu'on représente la série résultante par ^^ on aura

Si Ton convient de môme de désigner par e"'^' le résultat delà substitution de — x ^— 1 à x dans le développement de ^, on aura

Ces équations peuvent être écrites comme il suit :

^^~* = cosa: -h y/— I sin:c,

^-xv'-i coso: — v/— I sinx ;

d'où l'on tire

cosx

sinx =

et dans toutes ces formules il ne faut pas oublier que e**^^ et e-*^ n'ont aucun sens comme exponentielles : elles ne représentent autre chose que les séries qu'on obtient en substituant -+- x /—T et — X |/^ dans le développement de ^, et traitant y/— i de la manière convenue.

12. Il est facile de démontrer que ces exponeulielles imaginaires doivent ôtre traitées d'après les mêmes règles que si les exposants étaient réels.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier ^^"* par é^^\ en entendant toujours par là les séries qui représentent ces expressions, et qui peuvent être remplacées par cos j: -h v^'^sin.r et

co&y -H v/--ïsin^, dont le produit est cos(:c h-^) -h v^'^sin(^ h-/)- Cette dernière expression est représentée, dans le même sens, par ^(»+r) \/^ j donc on peut poser

La règle des exposants réels s'observe donc dans la multiplication des exponentielles imaginaires, et, par suite, dans leur division, dans leur élévation à des puissances, et dans l'extraction de leurs racines.

On pourrait encore déduire cette proposition de ce que, e*"*"^ étant égal ke'e^ pour toutes les valeurs réelles de x et^, on a identiquement

L'identité ne sera pas troublée en changeant dans les deux membres

X en .r y^^, ou y en yyf^i ; et Ton trouvera toujours les mêmes termes réels ou imaginaires avec les mêmes signes : d'où l'on conclut '

ou encore, en supposant qu'on change seulement^ en / y ~^,

^U+r^) = é'é'^-'^ ^(cosj^ -H v/^- ïsin/).

13. On est convenu de donner le nom de logarithmes aux exposants imaginaires, comme aux exposants réels. Ainsi x -^/v/-^ est le loga-

rilhme de e'(cos/4- v^— isinj); et pour avoir le logarithme d'une expression de la forme a ±: ô y^— i , on posera d'abord

f étant la plus petite valeur positive de a?, et Ton aura

Si 6 = o, on a, pour toutes les valeurs du logarithme de a,

L'arc (p est égal à o si a est positif, et égal à tt si a est négatif. On a donc, en entendant par \a le logarithme arithmétique du nombre ^,

\[^ a)—\a-±.%m:\' — i, 1(— ^)= la ±(2/2 -i-i)7rv' — I.

Cette dernière expression ne donne aucune valeur réelle; la première en donne une seule.

En faisant /z = i , on trouve

ll= =t 2/27r yZ—ï, 1(— i)=±:(2« -H i)7ry' — i.

14. On peut exprimer, au moyen des formules précédentes, les racines des équations de la forme

x^-^-paf^-^y = 0.

En effet, on en tire d'abord

Si l'on a -^^ — </ > o, ou = o, les valeurs de x seront les racines de

quantités réelles, et nous avons vu comment on pouvait les exprimer

au moyen des lignes trigonométriques.

/?' Si l'on di ^ — 7<o, les valeurs de x" seront de la forme

a^ih v^— I , et Ton en extraira les racines w?**"", comme nous l'avons indiqué en dernier lieu.

Si l'on forme, d'après les valeurs de ces racines, les facteurs réels de x^-^px^-^t-q^ on reconnaît immédiatement une construction simple qui les représente géométriquement, et qui repose sur la division du cercle en parties égales. Nous nous dispenserons d'entrer dans ces détails.

Nous terminerons en faisant remarquer que les expressions imaginaires sont souvent un moyen de généralisation qui ne saurait être remplacé par aucun autre. Ainsi la décomposition si utile des polynômes algébriques en facteurs du premier degré n'est possible que par l'emploi des imaginaires.

15. Toute fraction rationnelle de x peut être considérée comme composée d'une partie entière par rapport à j; et d'une fraction dont le numérateur est d'un degré moindre que le dénominateur.

Soit /. cette fraction. Nous nous proposons de la décomposer en

fractions plus simples, ayant pour dénominateurs les facteurs premiers de/(j:); ce qui exige d'abord que l'on cherche les racines de ce polynôme. Supposons-les déterminées^ et considérons d'abord le cas où elles seraient toutes inégales ; désignons-les par /?, ^, c, . . . , /. Soient A, B, C, . . . , L des constantes indéterminées, et proposons-nous de satisfaire à l'identité

Ff.r) ABC L

ou, en multipliant par/(j:),

Toutes ces divisions indiquées dans le second membre donnent des quotients entiers, et les indéterminées sont en même nombre que les différents ordres de termes, relativement à x : on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant, suivant la méthode ordinaire, les coefficients des mômes puissances de x dans les deux membres. Mais il existe dans le cas actuel un moyen beaucoup plus simple. En effet, si l'on fait x=za^ l'identité subsistera toujours, et tous les termes du

second membre disparaîtront, excepté A - — — • Pour savoir ce qu'il

devient, on pourrait faire d'abord la division par x — a^ puis faire x=: a dans le quotient entier; mais il vaut mieux traiter la fraction

fix) o

' ^ d'après la règle relative aux fractions qui se réduisent à--» et

ron voit alors qu'elle se réduit â / ' ( « ) . Ainsi l'hypothèse a: = a réduit l'identité de la formule suivante :

¥(a)=Af'(a), d'où A = ^j,

et comme f'{a) n'est pas nul, puisque a n'est pas une racine multiple, il est toujours possible de déterminer A de manière que l'équation (i) ait lieu pour jt = a.

On voit de même qu'en prenant

l'équation (i) sera satisfaite par x = b, xz= c,.,.,x = IA\ reste à en déduire la preuve de l'identité (i) ; car il est très-important d'observer, en général, qu'il ne suffit pas d'avoir trouvé des valeurs pour les coefficients indéterminés, lorsque l'on n'a pas prouvé d'avance la possibilité du développement. Or on sait que, quand deux fonctions entières de X sont égales pour un nombre de valeurs particulières de Xy supérieur au degré du terme le plus élevé, elles sont égales, terme pour terme. Donc les deux memj^res de l'équation (i) sont rendus identiques par les valeurs trouvées pour A, B, G,. . . , L, puisqu'ils sont égaux pour les diverses valeurs a, ô, c,. . ., /, dont le nombre surpasse d'une unité le degré du terme le plus élevé.

16. S'il y avait des racines imaginaires, rien ne serait changé dans les raisonnements précédents. Les constantes qui se rapporteraient à deux racines conjuguées ne différeraient Tune de l'autre que par le

signe de ^"^ , et les deux fractions seraient de la forme

Si Ton vent &ire disparaître les imaginaires, on effectuera la somme de ces deux fractions, qui se réduira à

On agirait de môme pour toutes les autres racines imaginaires.

il. Supposons maintenant que l'équation

ait à la fois des racines inégales et des racines égales; soit a Tune quelconque de ces dernières, et

le polynôme (f{x) n'admettant plus le facteur (jc— a) ; posons

(,^FW A A A , A,.. P ^

OU, en multipliant par / (x),

Le nombre des coefficients du polynôme P, ajouté au nombre des cobstantes A, A,, ... , A^.p est égal au nombre des termes de cette équation, et il s'agit de les déterminer de manière à la rendre identique. Si Ton y fait a? = a, on obtient

¥(a) = Af(a),

d'où Ton tirera la valeur de A. Différentiant l'équation (2) et faisant ensuite x = a, il vient

F'(«) = Af(a)-t-A,?(«).

Différentiant successivement la même équation et faisant ensuite x= a, on introduira à chaque fois un nouveau coefficient, et l'on pourra ainsi, au moyen de w — i différentiations, déterminer A, Ap . . ., A^,. Les termes provenant de 'P[x — a)"* disparaîtront tous par l'hypothèse X = a.

Cherchons la formule générale qui représente toutes ces équations successives, et, pour cela, diffé reniions p fois l'équation (a).

Pour savoir ce qui reste de chacun des termes quand on fera x = a après la différentiation, considérons le terme général A,(x — âr)"<p(x). On trouvera sa dérivée de l'ordre p au moyen de la formule connue

dans laquelle les exposants de Q et R sont des indices de difiérenliatien. On aura ainsi

^ = /i(/i - i). . . (/i - /? -h i)(x - ay^-.^x^

pip — i) i \ i o\

-h'— ^ ^/l(/I--l)...(lt— OH-3)

Si /y est plus grand que n, les premiers termes auront des exposants négaUfe, et on devra les omettre, parce que leurs ooefficieBts seront zéro ; cela tient à ce que, quand (x — a) sera affecté de Texposant zéro, il donnera zéro pour d^rée.

Voyons maintenant ce que derient le second membre de l'équation (3) quand onyfoit x= a. Si r<m a p<n^il se réduit à zéro. Si Ton a /y = A, il se réduit à son premier terme n(n^ i}...a.is(a}. Enfin si Ton a /y < a, il faudra se borner à prendre le terme qui en a p^n avant lui, parce qu'il aura zéro pour exposant ; les précédents auraient donc un exposant n^tif et doivent être omis, comme nous Tavons dit ; et les suivants deviendront nuls quand on fera x = ^ . Le second membre de l'équation (3) se réduit donc alors à

Donc l'équation (a), diflérentiée p fois en supposant /^ < m, donnera, pour X = a, en observant qu'O faut s'arrêter kn=^ p.

(4) < -+-/'(/' — ■)...(/' — '» -H i)A.o^(fl) -H...

Telle est Féquation générale qui, en donnant à p toutes les valeurs entières depuis o jusqu'à m — i inclusivement, fournira m équations, d'où l'on déduira successivement chacune dee quantités A, A,..., A^^. Ces équations sont les suivantes :

F (fl)=A7 [a),

F'W=A'/(/i)-hA.(/i),

V(a)=X'>'(a) -H a A, ç' (tf) -4- 2. 1 A,?(fl%

(5) / n'/)=A^-:fl)H.3A.ç"//) ^ 3.2A,'/K - 3-a.iA,?^.<, I •...••••....... , j

La première équation donne la valeur de A, et ce sera la seule inconnue si /;? = 1 ; la deuxième fait ensuite connaître immédiatement A,, la troisième A,, et ainsi de suite jusqu'à A„, : et il n'y aura jamais impossibilité, parce que, le coefficient du dernier terme n'étant jamais zéro, on trouvera toujours une valeur finie pour chaque inconnue.

Il reste à prouver que, réciproquement, si l'on prend pour A, A, . . . , A,^, les valeurs ainsi déterminées, on aura satisfait à l'identité (2). En effet, ces valeurs sont tirées des équations (5), qui expriment que l'hypothèse x=a annule le polynôme suivant et ses m — i premières dérivées.

Donc, d'après un théorème connu, ce polynôme est divisible par (x — af et peut être mis sous la forme V[x — «)•", P étant un polynôme entier qu'il sera facile de connaître. Donc les identités (2) et (i) seront satisfaites.

Gela posé, on pourra traiter d'une manière- semblable la fraction

-; — r relativement à une autre racine multiple, si elle en renferme,

et continuer ainsi jusqu'à la dernière. La fraction ... [ sera donc dé-

composée en fractions dont les numérateurs seront indépendants de x, et dont les dénominateurs ne renfermeront respectivement qu'un seul facteur premier de/( j?), élevé à une puissance égale ou inférieure au degré de multiplicité de ce facteur.

De plus, il est facile de reconnaître que cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière ; car si les constantes relatives à la racine «, par exemple, étaient susceptibles de plusieurs valeurs, on devrait les trouver toutes, soit que le calcul fût fait d'abord pour cette racine, ou pour toute autre. Or nous avons reconnu que les constantes A, A,, ... , A^, ne pouvaient avoir chacune plus d'une valeur. Donc il n'est possible de décomposer la fraction que d'une seule manière en fractions simples de la forme proposée.

On conclut de là que, pour les racines autres que la première «, il ne sera pas nécessaire de recommencer les calculs sur le polynôme P et les suivants. Il suffira de changer dans les équations ( 5 ) les quantités /72, a et <p(a:) en celles qui se rapporteront à toute autre racine de l'équation /(j:) = 0; car c'est ce que l'on obtiendrait en commençant successivement par chacune d'elles.

18. Les calculs précédents exigent que l'on forme le polynôme ?(x)

DÉCOMPOSITION DES FRACTIOlfS RATIONNELLES. 443

^qui est le quotient de la division de f(x) par (x — a)". On peut se dispenser de foire cette opération, et exprimer 9 (a), 7' (a),..., ^^(a), au moyen des dérivées de la fonction /(^) elle-même : on les substituera ensuite dans Téquation générale ( 4)f de laquelle se tirent toutes les équations (5). Or, si l'on différentie les deux membres de l'équation

ils se réduiront à zéro par Thypothèse x= a, si le nombre des différentiations est inférieur à m. Supposons-le donc égal km-^p^ p étant un nombre entier et positif quelconque.

n est inutile de répéter ici ce qui a été dit au sujet de l'équation (3), et l'on aura, en faisant x= a dans les dérivées de Tordre m -+■ p,

f'^f(a) = (/in- /?)(wn- ;? — i) . . .{/? -+- \)^(a] ; d'où

L'équation (4) devient, par là, P(£i) = A ' ^ h A - -—

^' (/W -4-/7) (m -+-/? — !)...(/? H- l) ' (W2 4-;?— l)...(/?-Hl)

(wï-+-//— a)...(/?-h i) ^m(m '-'i),..(p-h i)

Si l'on donne à p toutes les valeurs depuis o jusqu'à m — i , on aura, pour déterminer A, Ap . . . , A,^,, les m équations suivantes :

F-H=AH^(ril- ..A., •^'->) .-.^A.... f:^. (a/11— i)...w ' (a/w — 2).. ./yi "' • /;i

19. Les calculs précédents peuvent s'appliquer aux racines imaginaires égales, aussi bien qu'aux racines réelles ; mais les réductions

444 iroTE II.

entre les termes homologues relatifs aux racines conjuguées ne donnent pas immédiatement des résultats aussi simples que le mode de décomposition que nous allons faire connaître.

Soient a it 6/--* deux racines multiples de Tordre m de Téquation f[x) — o^ de sorte que Ton ait

On posera

ou

Le nombre des coefficients indéterminés est égal au noml)re des termes qu'il faut égaler de part et /l'autre, en ayant égard à ceux du polynôme P. Mais nous nous proposons ici de déterminer seulement

A, B, A,, B,,..., A,„,, B„,. Or, si l'on fait x = a it Ç y/^ dans la dernière équation et dans ses dérivées successives, chacune des équations ainsi obtenues se partagera en deux autres, à cause de la quantité imaginaire /— i ; et de plus il s'introduira dans chaque nouvelle équation deux nouveaux coefficients inconnus. Ainsi la première déterminera A et B, la seconde A, et B,, et la m''*"* A„i et B^,.

Ces mômes formules s'appliqueraient aux autres racines imaginaires égales, en changeant convenablement

On pourrait encore, comme dans le cas des racines réelles égales, se dispenser de former le quotient y (or), et faire dépendre sa valeur et

celle de ses dérivées, pour x = a d= 6 /— i , des valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les dérivées de/(j7) ; mais les formules sont moins simples que dans le cas précédent.

NOTE m.

On appelle série une suite de termes positif^ ou négatifs dont le nombre est infini.

On dit qu'une série est conçergente lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite déterminée, à mesure que n augmente indéfiniment. Elle est divergente dans le cas contraire.

iO. Le développement en séries peut être très-utile pour la détermination approchée des grandeurs, soit constantes, soit variables; mais on ne peut évidemment, dans des calculs soit numériques, soit algébriques, remplacer une quantité quelconque par une série, que lorsque celle-ci a pour limite cette quantité même. Il est donc nécessaire de connaître quelques caractères d'après lesquels on puisse juger si une série donnée est ou n'est pas convergente. Nous allons exposer les règles les plus simples qui ont été données à cet effet, et dont quelques-unes sont tirées du Cours d'Analyse de M. Cauchy.

Nous remarquerons d'abord que la somme des termes d'une série ne peut tendre vers une limite déterminée, si la grandeur des termes ne tend pas vers zéro. Cela est tout à fait évident, lorsque les termes sont tous de même signe, parce qu'alors leur somme croîtrait indéfiniment avec leur nombre; mais, lors même qu'ils seraient de signes différents, les sommes successives ne pourraient avoir une difiérenœ moindre que toute quantité donnée avec une grandeur déterminée, puisque deux sommes consécutives auraient toujours entre elles une différence finie, qui serait le terme auquel s'arrête la dernière.

n est donc indispensable, pour qu'une série soit convergente, que ses termes aient pour limite zéro; mais cela n'est pas suffisant, comme nous aurons occasion de le reconnaître. H faUt toujours s'assurer qu'après avoir dépassé un assez grand nombre de termes, à partir du commencement, et s'arrêtant à un terme quelconque au delà, la somme des suivants, quelque nombre que l'on en prenne, est au-dessous d'une quantité, qui peut être supposée aussi petite que l'on voudra.

Il est encore bon de remarquer que, si une série est convergente quand on prend tous ses termes avec le môme signe, elle le sera ensuite quand on multipliera tous ses termes par un même nombre quelconque, ou môme par des nombres dififérents positifs ou négatifs, pourvu qu'ils restent finis. En effet, puisque la somme arithmétique des termes de la première série, qui sont au delà d'un certain rang, peut être supposée moindre que toute grandeur donnée, il en sera de môme dans la seconde ; car la somme de ses termes au delà du même rang, lors môme qu'on les prendrait tous avec le môme signe, sera moindre que la somme des correspondants de la première, multipliée par le plus grand des facteurs introduits, qui est supposé fini.