La série

offre un exemple d'une suite indéfinie de termes décroissant indéfiniment, et dont la somme n'a pas de limite. En effet, faisons la somme

des n termes qui suivent ~ ) ou

elle est évidemment plus grande que

1 H. ..H ou — » ou enfin - •

2/2 in m in i

Donc, à quelque terme que Ton s'arrôte dans la série en question, od peut toujours en prendre un assez grand nombre à la suite, pour obtenir un nombre plus grand que -j et, par conséquent, la somme des

termes de cette série ne tend pas vers une limite, et peut croître indéfiniment.

Séries dont tous les ternies sont positifs,

22. Premier théorème. — Une série est convergente, lorsque le rapport d'un terme au précédent tend vers une limite plus petite que l'unité y à mesure que le nombre qui exprime son rang devient déplus en plus grand. Elle est divergente lorsque cette limite est plus grande que V unité.

Soit la série

et supposons que -^^ ait une limite /• plus petite que l'unité. Soit a

un nombre déterminé quelconque, compris entre i et ^; -^"^ finira

par être constamment inférieur à a, quand n aura dépassé une certaine valeur. En considérant la série à partir d'un terme quelconque, au delà de cette valeur, on aura cette suite indéfinie d'inégalités

if2±l<^, iÎ2±2<a, «-!<«,. ..,

d'où résulte

Tous les termes, à partir de tt„^.„ sont donc inférieurs à ceux de la suite

qui est une progression géométrique décroissante, et qui a, par conséquent, une limite. Donc aussi la série proposée a une limite, puisque la somme de ces termes, tous positifs, va constamment en augmentant, et reste néanmoins au-dessous d'une certaine quantité finie.

n est môme facile d'apprécier une limite de l'erreur commise en s'arrétant à un terme quelconque. En effet on a

a„ -t- ii^y -t-...<tt„(i-f-a-t-a*-t-...); donc

lim(«„-i-tt^, -*-... X-j-^.

L'erreur commise en s'arrétant au terme u^^ inclusivement est donc moindre que — ^ • Or a„ est une quantité connue, qui peut être

1 ^"~ oc

aussi petite que l'on voudra, puisque les termes de la série, étant audessous de ceux d'une progression géométrique décroissante, peuvent devenir moindres que toute quantité donnée : quant à se, il sera en général assez facile d'en avoir une valeur suffisanunent approchée.

Il est évident que notre raisonnement ne suppose pas que -^^ ait

réellement une limite, mais seulement qu'il finisse par être toujours au-dessous d'un nombre déterminé, plus petit que l'unité. Nous nous sonmies exprimé ainsi, parce que ce n'est que dans des cas très-exceptionnels que cette fonction de /i a une valeur indéterminée lorsque n

augmente indéfiniment. Cette remarque s'appliquera à tout ce qui suit.

• 23. Si, au contraire, on avait ^ > i , on finirait par avoir -^ > a,

oL étant compris entre i et h^ et, par conséquent, plus grand que Funité. On aurait alors

Les termes de la série proposée croîtraient donc indéfiniment, et, par conséquent, à plus forte raison, la série n'aurait pas de limite. Elle serait donc divergente.

Si Ton avait ^ = i , on ne pourrait rien affirmer ; et, dans ce cas, il peut arriver qu'une série soit convergente, ou qu'elle soit divergente.

24. Toutefois il est bon de remarquer que, si le rapport -^^ ânit

par être toujours au-dessus de sa limite i, la série est divergente; car alors les termes finissent par aller toujours en croissant ; et, comme ils sont tous positifs, leur somme peut devenir plus grande que toute quantité donnée, puisqu'il en serait ainsi lors môme qu'ils conserveraient une valeur constante, quelque petite qu'elle fût.

25. Si la série est ordonnée par rapport aux puissances d'une variable X, et que l'on ait généralement «„ = A^or", le rapport -^

deviendra -^ x ; et, en désignant par k la limite du rapport -~^ ; la

condition de convergence sera

kx <Ci\

d'où l'on tire

Ainsi la série sera convergente tant que x sera plus petit que jt et divergente quand il sera plus grand que t* H pourra y avoir incertitude quand x sera égal à -r •

Des remarques analogues pourront être faites au sujet des règles suivantes.