Hi) 1,1, ..(n-i-i) [n -h n

Donc la somme des termes qu'on néglige dans la proposée est inférieure à la limite de la somme 4es termes de cette progression, qui est

■ Mil ■ ■ ■! — ■■■■^1— I ■ ^— ■ I ■! •

C'est donc là une limite de l'erreur commise en s'arrôtant à •

On pourrait prendre, à plus forte raison, comme limite, l'expression

plus simple

dont la valeur est plus grande que la première.

Cale.itif.D, — !• 99

45o NOTE III.

Cette série est d'un grand usage dans TAnalyse, et Ton désigne ordinairement sa limite par la lettre e.

Il est facile de démontrer que sa valeur est incommensurable.

En effet, supposons qu'elle soit commensurable ; comme elle n'est pas entière, elle sera représentée par une expression fractionnaire irréductible -7 q étant > I ; on aurait ainsi Tégalité

p III

En multipliant les deux nombres i .2.3. . .7, on aurait

Or la limite de la somme des termes fractionnaires du second membre est plus petite que Tunité, puisque ces termes sont inférieurs à ceox de la progression géométrique

dont la limite est - * et, par conséquent, plus petite que Tunité. Donc

!a limite du second membre de la dernière équation ne serait pas égale au premier; ce qui est absurde. Il résulte de là que la limite de la série proposée ne pouvait être égalée à un nombre commensurable. Cette limite est donc incommensurable, comme nous voulions le démontrer.

27. La quantité que nous avons désignée par e peut être considérée y)mme la limite d'une autre expression remarquable que nous allons iaire connaître.

Désignons par m un nombre entier positif croissant indéfiniment, et considérons Texpression

IH

qui se présente sous la forme indéterminée i", quand on y fait m infini. Pour déterminer la limite vers laquelle elle tend, quand m croît indéfiniment, développons-la suivant la formule ordinaire du binôme;

REGLES DE COI^YERGEr^GE DES SÉRIES. 4^1

nous aurons

mj \ m I . a //i'

m[m — i). . .(/w — /i -4-i) I I » rt. « ZI» "^ • * * "^ TTIm

Tous les termes du second membre sont positifs, et leur nombre est fini et égal à m + 1 . On peut mettre cette équation sous la forme

(..ir„..vH).-('-^)(-^)....

\ ml I 1.2 1.2.3

V ni) V ni)' "y m )

On voit d'abord qu'un terme quelconque, de rang déterminé et invariable, augmente en même temps que m ; et comme le nombre total des termes augmente aussi, leur somme augmente constamment. D'où

il suit que ( ih — j augmente en même temps que m.

On reconnaît encore que, les numérateurs des termes qui forment le second membre de l'équation (i) étant moindres que l'unité, ces termes sont au-dessous des correspondants de la série

(a) IH i ! r-H...-4-

dont la limite est e. D'où l'on conclut déjà que ( i h — j est toujours

moindre que e ; mais nous allons démontrer qu'il s'en approche indéfiniment.

En effet, le terme qui en a /z avant lui dans le développement (i)

tend indéfiniment vers à mesure que m croit. Donc la somme

des /I + 1 premiers termes de ce développement peut différer aussi peu qu'on voudra de la somme s^ des correspondants de la s:'3rio (2), quelque grand que soit le nombre déterminé n. Mais la différence entre s^ el ^peut devenir moindre que toute quantité donnée; donc il en est de n^dme de celle qui existe entre e et la somme des /z -h 1 premiers tennee do développement (i), et, à plus forte raison, do la différence

qui existe entre e et le développement (i) tout entier, ou (in — j .

Donc enfin f ih — ) tend vers la limite e lorsque m croît indéfiniment, en restant toujours entier.

Considérons maintenant des valeurs positives, non entières pour m. Faisons /ti = /x 4- g, g étant une quantité positive moindre que Tunité, et

/x un nombre entier. L'expression ( n — j devient ( ï h j

or on la rendra plus grande si Ton diminue le dénominateur fx + e et qu'on augmente Texposant f* -4- e ; et on la rendra plus petite en augmentant le dénominateur et diminuant l'exposant. L'expression proposée sera donc comprise entre les deux suivantes :