tendent vers l'unité à mesure que p augmente. Donc enfin

la quantité intermédiaire ( ih — J tend vers e, de quelque manière

que varie la quantité positive, indéfiniment croissante, désignée par/w.

Si l'on pose — = a, on énoncera le même résultat de cette autre

manière.

L'expression (i -f- a) « tend vers la limite e lorsque a est une quantité positive qui tend vers zéro, suivant une loi quelconque.

Il reste à considérer le cas de — j ou de a, négatif et tendant vers zéro. On posera, dans ce cas, i-h a = — —3^ 6 sera une quantité

positive tendant vers zéro. On tirera de cette relation

a = — — sj I -h 6

et, par suite,

Or, 6 étant positif, (i -+- 6)« tend vers e, lorsque 6 tend vers zéro; de

plus, I -H 6 tend vers Tunité; donc (n- a)* tend encore vers e, lorsque a est négatif.

Ainsi, de quelque manière que lu quantité a tende vers zéro, Vexpression (i -h a)« tend vers la limite e.

Remarque. — Puisque (i 4- a)« a pour limite e^ son logarithme népérien aura pour limite i . Donc

Imi 1 1 4- a )« = lim -i = 1 .

Ainsi a étant infiniment petit, on pourra substituer a à l(i -i- a) dans les rapports dont on cherchera la limite,

28. Si au lieu de ( in — ) on avait développé fin — j > on aurait trouvé pour limite, au lieu*de la série (2), la suivante :

qui est convergente, quel que soit x, en vertu de la règle précédente. Or

en posant — = a; et a tend vers zéro, quel que soit x, lorsque m croît indéfiniment : donc ( n — ) a pour limite e* quel que soit x, et Ton

4o4 NOTE III.

a, par conséquent, Tidcntité suivante :

C* = IH 1 1 r H- ... 4-

Ce développement important conduit immédiatement à celui de (f^ a étant un nombre quelconque. En effet, a =r e^, la caractéristique i désignant les logarithmes dans la base e^ qui est celle de Néper. On aura, par suite, «'= ^**, et, par conséquent,

x\a x^Va a^Va a^Ya

Ûf* = IH 1 h

Considérons encore la série

X x^ jc"

IH j i-.. .H

elle sera convergente si Ton a

lim ar < I ou a: < I .

Elle sera divergente si Ton a a: > i , et les termes croîtront indéfiniment. Lorsque Ton a a: = i , la limite de -^^ devient Funité, et nous

avons dit qu'on no peut, dans ce cas, prononcer, en général, sur la convergence ou la divergence d'une série ; mais il n'y a pas ici d'incertitude; car la série devient

et nous avons reconnu précédemment que la somme des termes de cette série est infinie.

Remarque, — Si une série ordonnée suivant les pufssances de x est convergente pour x= a^ elle le sera pour toute valeur de x ayant une valeur absolue moindre que a.

En effet, si l'on désigne par d la différence de deux exposants consécutifs, le rapport de deux termes généraux consécutifs sera -—^ .r'';

d'après l'hypothèse a"^ lim — i est tout au plis égal à i . Si donc on

KÈGLSS DE COWrEMGES€X, DES StUES. 4^5

met an lieo de a on nombre z plus petit nmnériqiiement, «i aura

flt' lim ^^ < I , ei b série serapar coDséqDeiit coDYei^eBte pour JT == 2.

jiatrg remarque. — Si me série ordramée par rapport anx pnîs-

sanoes dex a ses coefficients constants, ei que Fon ait ^ lim-^ <i

poor nne certaine Talenr de x, les dérirées de ses termes formeront une série con^ei^ente poor cette Talenr dex. Reflet, smeni les deux termes consécoti&

Le rapport de leurs dérirées sera — ^^ x', ei sa firaite sera

^Y^j^ qui est pins petite que Fonité. La série des dérirées est donc

convergente.

On pent même démontrer que la somme de cette série est la dérivée de la somme de la prenûère.

Dmrujon rsÈOÊÈmE. — Urne série domie terme géménd est u^

est eomvergtnie hrsqme nf iemd vers tme tumte k pbu petite Pmmté, qmamd n migmemte indéfimment. Elle est dt^ergemÊe hrsqme la Bmite k est plus gnmàe que P unité.

Supposons d'^Mird i ^t^^ soit z un nombre quelconque comprs

entre i et i ; d'aires Iliypotfaèse, t^ finna par êlre

mœndre que a, depuis une certaine valeur de n jusqu'à FiiinL Oa

aura alors les inégalités suivantes :

Donc, à partir d'une valeur convenable de m^ tons les termes de la série sont an-de»ous de ceux de la progression géométrique dtoofe-

done la série proposée a une iiaûte; et Ton anra une qnatîté pte

grande que Terreur commise en s'arrôtant à a^,, en prenant la limite

de cette progression géométrique, qui est •

Supposons maintenant / > i , et soit encore a un nombre quelconque

compris entre ^ et i; on finira par avoir {£^> a, au delà d'une certaine valeur de /z, et Ton aura alors les inégalités

d*où il suit qu'à partir de u^ les termes de la série sont au-dessus de ceux de la progression géométrique croissante

Ils croissent donc eux-mêmes indéfiniment, et la série proposée est divergente.

Enfin, si Ton avait ^ = i, on ne pourrait affirmer, en général, si la série est convergente ou divergente.