Troisième théorème. — ^ les termes d^une série

vont constamment en décroissant à partir du premier^ cette série sera convergente ou divergente en même temps que la suivante :

En effet, supposons d'abord la première série convergente. Ses termes allant constamment en décroissant, on aura les relations suivantes :

«9 = «Oî

2 M, = 2«p 4«j < 2ttj-+- 2«3, Su^ < 2W^-h 2«5-+- 2«gH- 2«,, l6ttj,<2tt8-:- ^-2M,5,

Ajoutant membre à membre ces égalités et inégalités en nombre infini,

on voit que la somme des premiers membres, qui sont les termes de la série (a), sera au-dessous de la somme de ceux de la suivante, terminés au même indice de u,

w^-H 2tt, -f- 2w^-H attg-t- aw^-i-. . . .

Or cette série n*est autre chose que la série (i) dont on aurait doublé les termes, excepté le premier. Elle a donc une limite, et,- par conséquent, la série (2) en a une à plus forte raison. Ainsi, d'abord la convergence de la première série entraîne celle de la seconde. Supposons, en second lieu, la série (i) divergente, ses termes allant toujours en décroissant ; on aura évidemment les relations suivantes :

2 tt, > u^ -f- w„

Ajoutant les premiers membres entre eux, ainsi que les seconds, on reconnaît que la somme des termes de la série (2 ) est plus grande que la somme de ceux de la série (i)^ terminés à celui d'indice double; et comme cette dernière croît indéfiniment par hypothèse, il en est de même de l'autre. D'où il suit encore, comme on voulait le démontrer, que la divergence de la série (i) entraîne celle de la série (2). Donc, enfin, les deux séries proposées sont toujours en môme temps convergentes ou divergentes.