Prenons par exemple, pour la série (i), la suivante

la série (2) deviendra

Or cette dernière est une progression géométrique dont la raison est 2}-^. Elle est décroissante si l'on a f* > i , et croissante si f* < i ou p = I. Donc aussi la série (3) est convergente si p > i, et divergente si fA <i, ou p = 1.

La conséquence relative à /x = i montre que la sério

est infinie, comme nous Tavions déjà reconnu. 32. QuATBiÈME THÉORÈME. ~ La série

est convergente, lorsque, n croissant indéfiniment, y^ a une limite

plus grande que r unité. Elle est divergente si cette limite est plus petite que l'unité.

En effet, soit h cette limite, et supposons d'abord à > i . On aura donc, depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini, a désignant un nombre compris entre i et A^

Les termes de la série proposée, à partir de /<„, sont donc inférieurs à ceux de la suivante :

Il 1

Or celle-ci est convergente d'après le théorème précédent, puisque Ton a a > î ; donc aussi la proposée est convergente.

Supposons en second lieu /^ < i , et soit a un nombre compris entre I et h. On finira par avoir, au delà d'une certaine valeur de /?,

Les termes de la série proposée seront donc alors au-dessus de ceux de la suivante :

n°- [/i-i-iy

ÙGLES DE C03CTERGEKCE DES SÉRIES. 4^9

Mais celte dernière est divei^ente, puisque Ton a z < i : donc la pro* posée l'est aussi. Ce qiâil fallait démorttrer,

33. Lorsque la limite h est Tunité, on ne peut, en général, prononcer sur la convergence ou la divei^ence de la série. CepeKlant, lorsque

" le rapport —^ est toujours inférieur à sa limite i, il est facile de démontrer que la série est divei^ente.

En effet, l'inégalité -r-^ < i donne

donc les termes de la série proposée sont au-dessus de ceux de la suivante :

que nous avons démontrée divergente. La proposée l'est donc ellemême.

Si le rapport y-5 est, au contraire, toujours supérieur à sa limite I, on prouverait bien que les termes de la série proposée sont au-dessous de ceux de la suivante :

mais, celle-ci étant divergente, on ne saurait en conclure que la proposée est convergente.

Autre règle pour la convergence des séries,

34. Remarquons d'abord que si Ton a une série convergente, ayant tous ses termes positifs,

et qu'une autre série

46o NOTE III.

soit telle, que, depuis un certain terme jusqu'à Tinfini, on ait

cette seconde série sera convergente; car, si Ton multiplie la première par— ? n ayant une valeur déterminée telle, que la condition

supposée soit remplie, la série ainsi obtenue sera encore convergente. Or tous les termes de la seconde, depuis p^, se trouveront inférieurs aux termes correspondants de cette dernière ; donc la seconde série sera elle-même convergente. Elle serait divergente si la première

rélait et qu'on eût îiti > ÎÎ2±J .

Gela posé, considérons une série

telle, que l'on ait

lim ^ = I,

le rapport -^^ étant toujours plus petit que l'unité, depuis une cer-

taine valeur de n jusqu'à l'infini. On pourra mettre ce rapport sous la

forme

a étant positif et tendant vers zéro.

Or nous allons démontrer que, si l'on a

lim/ia >i, la série sera convergente ; et qu'elle sera divergente si l'on a

lim nx < I .

1° Soient

\imnx = A et /*> i.

Désignons par m une quantité déterminée quelconque, comprise entre I et X-, et, par conséquent, plus grande que l'unité. Il est facile de voir que, depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini, on aura

ni '

RÈGLES DE C03ITERGESCE DBS SÉRIES. 4^1

En eflRst, d'après le n* 482, nous auroiis

ûA tendant vers zéro avec - 9 et pour que rin^alité précédente ait lieo. il sofEira qoe Ton ait

««> llt(l-r-ft>).

Or, à mesare que n augmente, le second membre tend vers ut et le premier vers k qui est > m : donc, depuis une Yaleur déterminée de n jusqu'à Finfini, l'inégafité aura lieu ; donc, depuis cette Yaleur de n jusqu'à Finfini, on aura

et, par suite, .

ou

Mais n Fon considère la s^ie