I III I I

le rapport du terme général au précédent sera

et, par conséquent, [^us grand que dans la série proposée. De |dus, la série (i) est convergoite, puisque Fon a nr > i : donc aussi la série proposée est convergente ; ce que nous nous proposions de démontrer. 2* Soit maintenant

]mïn3L = A et it<i.

Prenons une quantité quelconque m comprise entre i et 4-, et, par

suite, plus petite que l'unité ; je dis que Ton finira par avoir constamment

ou

OU encore

noL <//i(n- w).

En effet, lorsque n croît indéfiniment, le premier membre tend vers k^ et le second vers /?<, qui est plus grand que /-. Donc, depuis une certaine valeur n jusqu'à Tinfini, les inégalités précédentes auront lieu; d*où il résultera

et, par conséquent, --^' finit par être constamment supérieur au rapport des termes correspondants de la série dont le terme général est — •

HT

Hais, m étant plus petit que Funité, cette dernière série est infime ; donc la proposée Test aussi.

Donc enfin, comme nous l'avions annoncé, la série proposée sera convergente si l'on a lim/za> i, et divergente si l'on a lim/ia <i.

35. On ne peut, en général, prononcer sur la nature de la série,

lorsque l'on a

lim«a = I.

Néanmoins, si /za est toujours plus petit que la limite i, on peut affirmer que la série est divergente ; car alors on a

et le rapport -^^* est supérieur au rapport relatif à la série

divergente

II \ n

d'où il résulte que la série proposée est infinie.

Le seul cas qui reste douteux est donc celui où l'on a

WmnoL = I, na n'étant pas constamment plus petit que i.