Appliquons cette règle à la série

Il i.3i 1.3.5 1 Î.3. . .(a/f — i) I

On aura, dans ce cas,

lim î^ = 1

et

d'où

et, par suite,

lim/2a= -= 14- -:

d'où il résulte que la série proposée est convergente. Considérons maintenant cette autre série

ÎH 1 ^H ^-f-...H A L

pour laquelle on a encore lim-^^^ = i. Le rapport -^^iî- aura pour va-

leur

On aura donc

et

/ïa =

lim/za = -)

d'où il résulte que la série est divergente et que la somme est infinie.

Séries dont tous les termes ne sont pas de même signe,

37. Lorsqu'une série n'a pas tous ses termes de môme signe, il est évident qu'elle sera convergente, si elle Test quand on donne le même signe à tous ses termes, par exemple quand on les prend tous positiGs. En effet, la somme des tei*ïnes qui suivent l'un quelconque de ceux de la série proposée est moindre que la somme des correspondants de la seconde, quel que soit le nombre que l'on en considère, puisque tous ses termes s'ajoutent entre eux dans la seconde, tandis que les uns s'ajoutent et les autres se retranchent dans la première. Donc, puisqu'à partir d'un certain terme de la seconde la somme des suivants a une limite qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, il en est de même à plus forte raison dans la première; et, par conséquent, elle est convergente.

On peut donc d'abord appliquer à ces nouvelles séries les règles données pour celles dont tous les termes sont de même signe, tant pour reconnaître la convergence que pour calculer une limite de l'erreur commise en s'arrétant à un terme quelconque; mais ces règles ne dispensent pas d'en chercher de nouvelles, spécialement applicables aux séries dont tous les termes ne sont pas de même signe ; parce qu'une pareille série peut être convergente, et devenir divergente quand on donne le même signe à tous ses termes. Nous nous bornerons à celle * qui résulte du théorème suivant :

Théorème I. -- Lorsque dans une série les termes finissent par être constamment décroissants , et alternativement positifs et négatifs, cette série est toujours convergente ; et l'erreur commise en s"* arrêtant à un terme quelconque est moindre que le suivant.

Soit la série

Désignons, en général, par s^ la somme des termes depuis le premier jusqu'à «^, inclusivement.

Nous remarquerons d'abord que la somme j„ de termes dont le dernier est positif ne peut être que diminuée par l'addition d'un nombre quielconque des termes suivants. En effet, pour passer de la somme s^ à ^^,, il faut retrancher f^„^, ; donc on a ^^, <^„. Pour obtenir la somme suivante ^„^j, il faut ajouter m„^,, qui est moindre que le terme tt„^, qui a été retranché de s^ ; donc on a encore s^^^ < s^. Le même raisonnement se reproduisant indéfiniment, on voit que la somme s^ est plus grande que toutes celles dont l'indice est plus élevé.

On voit, au contraire, que, si Ton s'arrête à un terme négatif, la somme sera toujours moindre que toutes celles dont Tindice est plus élevé.

Ainsi les sommes dont le dernier terme est positif vont toujours en diminuant et celles dont le dernier terme est négatif augmentent constamment, en restant toujours au-dessous des premières. Ces deux suites de sommes se rapprochent donc de plus en plus à mesure qu'on avance dans la série, et leur différence tend vers zéro, puisqu'elle n'est autre chose que le dernier terme de la dernière, lequel tend vers zéro, par hypothèse, à mesure que son indice augmente indéfiniment.

Donc enfin la somme des termes tend vers une limite déterminée, et V erreur positive ou négative est toujours moindre que le terme qui suit celui auquel on s* est arrêté.

Soit, par exemple, la série

X h-TT

n n-\-i Le rapport d*un terme au précédent est exprimé généralement par

x^ et sa limite est x. Ainsi, d'abord la série sera convergente

si l'on a a: < I en valeur absolue , divergente si a: > i . Lorsque a: = i , la série est convergente en vertu de la dernière règle, puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment ; mais, si l'on prenait a: = — i, la série aurait une somme infinie. Lorsque la série est convergente, l'erreur que l'on commet, c'est-à-

dire la quantité que l'on omet, en s'arrôtant à — i est moindre que

et de même signe que ce terme.

Remarriue, — Dans les séries dont les termes ne sont pas tous de même signe, la somme d'un nombre quelconque de termes consécutifs n'est autre chose que la différence des sommes de deux séries à termes positifs ; mais il faut avoir bien soin de retrancher les sommes terminées à des termes tels que le résultat soit la somme des termes consécutifs de la série proposée. Si l'on ne satisfaisait pas à cette condition, et que les deux sommes à termes positifs pussent croître indéfiniment, comme cela a lieu par exemple dans la série dont nous venons de parler

Il I I a 3 4 5

Cale, inf, Z>. — L 3o

466 NOTB IIL.

le résultat ne serait pas déterminé, car il proviendrait dfi la différence de deux quantités, devenant infinies, sans avoir entre elles une dépendance bien déterminée. Nous nous bornons à cette remarque, qui donne la raison générale des résultats intéressants qu'a donnés à ce sujet M. Lqjeune-Dirichlet.

Pour donner un exemple «impâe de séries convergentes sous cer* taines conditions de .groupement de termes, considérons Texpression de 9r donnée par Wallis

'ïra446688 on en tire

! 7 = 1:5 4- 1^ ^- n -hU 4- 1- 4- 1-

4 3 3 5 .5 7 9 = I2 - 13 4- 14 - 13 H- 14 - 15 H- IG -15 -h 16 — 17 -*- 1$ - I9.

Les termes de cette dernière série doivent être pris en nombre pair d'après la manière dont on Ta obtenue ; mais, comme ces termes croissent indéûnimeut, il est clair que, si Ton en prenait un nombre impair,

on aurait une somme qui s'éloignerait de 1 - d'une quantité indéfiniment croissante, alternativement positive et négative.

Théorème n. — Si Von multiplie par des nombres positifs décroissants les termes positifs ou négatifs d'une série convergente^ on obtiendra une nouvelle série convergente^

Ce théorème est dû à Abel, et il est loin d'être évident, parce que les multiplicateurs ne sont pas constants et peuvent porter très-inégalement sur les termes positifs et sur les termes négatifs, dont les sommes prises séparément sont supposées infinies; sans quoi il n'y aurait pas de difficulté.

Considérons une série convergente dont les termes ont des signes quelconques.

Multiplions ces termes par des nombres qui, à partir d'un certain rang, sont tous positifs et décroissants. Désignons par u^^, «,,«„... les termes à partir de ce rang, et multiplions-les respectivement par les iacteurs

positifs et décroissants. Posons

«o"o+ £,«,+ s,w,-t-. . ..4- s„tt„= (7„,;

s^ tendra vers zéro à mesure que le t^me a, sera supposé plus avancé dans la série convergente.

On aura évidemment

et, par saite,

Or les nombres s«, 8j,...,s^ étant décroissants, les cœffîcients des sommes s^, s^y..., s„ sont tous positifs et la somme des termes est égale à la somme de ces coefficients, multipliée par une certaine moyeime fi entre ces sommes : on aura donc

Or pi peut devenir moindre que toute quantité donnée, à mesure que «0 ^^ plus avancé dans la série proposée ; il en sera donc de même de (r^, et par conséquent la seconde série sera aussi convergente.

Des séries imaginaires.

38. Lorsque les termes d'une série sont de la forme it-hç \/7-^, on entend que cette série est convergente lorsque la somme des termes

réels a une limite s, et que la somme des coefficients de /—î tend de môme vers une limite / : on dit alors que la limite de la série est

On est ainsi ramené aux conditions de convergence de deux séries réelles; mais il suffit souvent d'en considérer une seule, celle qui se rapporte aux modules des termes de la proposée.

En effet, on peut toujours poser

U'hP^^= p(cos0 -h v^— isinô), et la série proposée prend la forme

/ X I Po(cosÔ.4-v/^sin0j4-p,(cosO,-f-v/^sinÔ,) \ H-p„(cose^+V^^sin0j

Or, si la série