DES PRODUITS DE FACTEURS EN NOMBRE INRISI

Considérons un nombre indéfiniment croissant de facteurs, variables avec leur rang /i, suivant une loi donnée. Cherchons la limite vers laquelle tend la fonction de n qui en donne Texpression générale, à mesure que n crott indéfiniment : soit k cette limite.

n est évident que, si Ton a X- > i, les facteurs finiront par être toujours supérieurs à un nombre fixe plus grand que Funité, et leur produit croîtra sans limite. Si Ton a ^ <i, les facteurs finiront par rester Inférieurs à un nombre fixe plus petit que Tunité, leur produit aura zéro pour limite.

n n'y a donc de question que lorsque Ton a ^ = i , et nous nous proposons de trouver à quel caractère on pourra reconnaître alors si le produit tend vers une limite finie, c'est-à-dire s'il est convergent,

^ la fonction de /?, qui représente le terme de rang /?, n'avait pas de limite, quand n croit indéfiniment, mais que depuis une certaine valeur de n jusqu'à l'infini elle eût une valeur constamment supérieure à un nombre fixe plus grand que l'unité, ou une valeur constanunent inférieure à un nombre plus petit que l'unité, les deux premières propositions subsistent évidemment; mais il est nécessaire que cette fonction ait une limite et que cette limite soit l'unité, pour que le produit puisse converger vers une limite finie.

En eflfet, si ce produit a une limite, on peut affirmer que, quand on aura pris un nond)re suffisant de facteurs, on aura un produit qui différera de cette limite, ainsi que tous les suivants, d'une quantité inférieure à toute quantité fixe et qui, par conséquent, sera toujours supérieure à un nombre fixe M ; d'où il suit qu'on ne pourra plus trouver par la suite aucun acteur supérieur à un nombre i + «», o> étant fixé aussi petit qu'on voudra; car, le produit précédent étant un nombre supérieur à M, le suivant le surpassera de plus que la quantité fixe Mo», ce qui est contradictoire à la supposition de convergence.

470 WOTB lY.

Conditions de convergence. — Les premiers £sicteurs en nombre quelconque donnant un produit déterminé, quelque grand qu'il soit, ne peuvent influer sur la convergence , et il suffit de considérer les facteurs depuis un rang aussi avancé qu'on voudra jusqu'à Finfini. Nous pouvons donc nous borner à considérer le produit suivant :

composé d'une infinité de facteurs dont les seconds termes pourront être supposés tous inférieurs à un nombre désigné quelconque.

Pour que ce produit tende vers une limite, il est nécessaire et suffisant que son logarithme en ait une. Il faut donc que la série

soit convergente. Or, c, «„ . . . pouvant être supposé» {^w petits que l'unité, on peut développer ces logarithmes suivant les puissances de ces quantités, et écrire

l(n-eJ=g^--(Hr(a„),

&), <>>>i,. . . étant des quantités tendant vers zéro en même tempe que g, g,, — Or, tous les facteurs 1% i\ étant de môme signe, la somme des seconds termes des seconds membres est égale à la somme de ces facteurs multipliée par une moyenne entre les autres facteurs. On aura donc

= g H- g, H-...-I- g„H-... (g'-h gf-t-. . .4*eJÎH-. . .)(l-i-»'),

&>' étant intermédiaire entre la plus petite et la plus grande des valeurs algébriques «, w', . . .

La somme des logarithmes sera converg^te, si les deux séries qui composent le second membre le sont. Si tous les termes de la première étaient de même sigue, il suffirait qu'elle fût convergente pour que la seconde le fût, puisque ses termes sont moindres que ceux de la première ; et d'ailleurs on aurait pu, danscecas, arrêter les développements au premier terme et raisonner comme nous l'avons fait en nous arrêtant au second ; mais si la convergence de la première tenait à la diffé-

DES PEODUITS DE FACTEtTHS EW N03fBRE IWFI5I. 4?*

rence des signes de ses termes, elle pourrait ne pas entraîner ceQe de la seconde. On peut donc énoneer la proposiii(te suivante : On reconnaîtra que le produit

(n-f)(l-+-e,)...fn-fj...

sera concernent en s* assurant que la série des seconds termes est con^ vcrgentey ainsi que la série de leurs carrés. Exemples, — Le produit

est convergent, car la série des seconds termes est convergente et^ comme ils sont de même signe, cette condition suffît. Mais si Ton considère le produit

la somme algébrique des seconds termes est convergente à cause des signes alternatifs; mais la somme de leurs carrés, ou

est infinie. Le logarithme du produit tend donc vers — oo , et le produit vers zéro.

Sur la décomposition de sin jr et cosx en un nombre infini

de facteurs»

Euler a donné, dans V Introduction à V Analyse des infiniment petits, les formules importantes au moyen desquelles on peut remplacer les sinus et cosinus par des produits de facteurs du premier degré, en nombre infini. Ses démonstrations n'avaient pas toute la rigueur désirable; on les a perfectionnées sous ce rapport, mais en leur faisant peut-être perdre im peu de leur simplicité. L'objet de cette Note est de réunir, autant qu'il m'a^paru possible, les deux avantages.

Je commencerai par établir quelques propositions simples, qui retarderaient la marche du calcul si on les y laissait engagées.

Premier lemme, — Soient a, b deux arcs compris entre o et -> «t

472 WOTE IV.

a <Cb;on aura

sittfl a . sinq t: a

imï J sin^ a b*

En effet, on sait que le rapport ^^^ décroît lorsque x croît, depuis 0

jusqu'à -• D'où il résulte d'abord

sînû^sin^ sin/i^ a

ah îxsih b

H en résulte encore, en considérant les quatre valeurs o, a, fc, - de x,

que les rapports suivants sont rangés par ordre de valeurs décroissantes

sin^ I I, sina, -^, ^•

Donc le rapport du second au troisième est moindre que celui du premier au quatrième, et, par conséquent,

sinfl TT f/^ sinà â2'

Ainsi, comme on l'avait énoncé, -r-r est compris entre ' ' smo ^

a ^ Tz a b 1 b

Deuxième lemmc, — Si l'on désigne par m un nombre entier quelconque, on aura

cos 7w j: = 2"'"' cos^x -+- A cos'"'*^; h- B cos"*"* j: h- . . . di i . si /w est pair, et

cos/w^ = 2"*"' cos" x -h A C0S'""^a7 -t- . . . dr M cosx si m est impair,

A, B,. . . , M désignant des valeurs numériques que nous n'avons pas besoin de déterminer.

On aura semblablement, pour sinw^, les formules suivantes

sin/w.r = sinx[2'""'cos"*~'a7 -i- Acos'^'^a: h-. ..±1) , si /w est impair, et

sinwjT = sinjc(2"'"'cos'"~'^ -h Acos'**"''x-f-. . .-h Mcosx) si m est pair.