DES PRODUITS DE FACTEUES EN NOMBRE INFINI

Ces diverses formules résultent de ce que les sinus ou les cosinus d'arcs croissant d'une quantité constante x forment deux séries récurrentes, ayant l'une et l'autre pour échelle de relation 2 cosj: — i. En partant des deux premiers arcs o et Xy on calculera facilement, au moyen de dette loi, les valeurs successives de

cosaor, cosSor, cos4<^,...9 ainsi que de

sinax, sin3^,....

La détermination générale des coefficients A, B, . . . , M nous est inutile et demanderait des développements dans lesquels nous n'entrerons pas. Quant à la forme des expressions (i) et (2], elle résulte immédiatement de la loi de formation que nous venons d'indiquer. Elle e'aperçoit tout de suite pour les premières, et se généralise par un raisonnement si fréquemment employé, que nous croyons inutile de le rappeler.

Décomposition de cosmx en m facteurs.

Troisième lemme. — Les seconds membres des équations (i), étant des polynômes du degré m par rapport à cos^, peuvent être décomposa en m facteurs de la forme cosx — a, a désignant une quelconque des valeurs de <^osx qui annulent ces polynômes ou leur égal cosmx. Or les valeurs de mx, qui annulent cosmor, sont toutes renfermées dans l'expression générale

n désignant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. En les divisant par /n, on aura les arcs dont les cosinus seront les différentes valeurs de a. Pour avoir toutes ces valeurs, il suffira de donner à /z un nombre m de valeurs consécutives partant de o, par exemple, ce qui conduira aux arcs suivants :

Stt