DES PRODUITS DE FACTEXJUS EN NOMBRE INFINI

Les formules précédentes deviennent, d'après ces relations » / . . / sin^ar

sin'jr

l sin^— / \ sin^ —

sin'j? "1

(A) < P^"^ '^ impair, et

sm^xN / sin^j:

sin'— /\ sin^^^

sinmx = m smx cosa: / i \ / i —

my \ m

sin'ar X 1 —

[sin'jT T

pour m pair.

Développement de cosx en un nombre infini de facteurs.

Si dans les formules (3) on change la quantité arbitraire x en -^j elles deviennent :

sin' — X \ ni \ l m

cos-a? = cos — I I I I I —

pour m impair, et

cosx= I I—

pour/7t pair;

et, comme /n est un nombre entier quelconque, oosx se troure ainsi représenté par le produit d*un nombre arbitraire de facteurs.

La question que nous venons' de poser ici est de déterminer la forme vers laquelle tend la valeur constante du second membre, lorsque le nombre de ces facteurs croit indéfiniment.

sm'—

Si Ton considère an facteur quelconque 1 j n désignant

sin' —

un nombre impair aussi grand que Ton voudra , les arcs — t — tendant vers zéro lorsque m croit indéfiniment, le rapport de leurs sinus aura pour limite le rapport des arcs — ? et la limite du fkcteur sera

ce Comme d'ailleurs le facteur cos — tend vers l'unité, en arrive d'à-

bord à celte conclusion que, quelque grand que soit le nombre impair déterminé /?, le produit des facteurs qui entrent dans les expressions (5), jusqu'à cette valeur de «, devient, lorsque m croit indéfiniment, aussi voisin qu'on voudra du suivant :

Il resterait donc à trouver la limite vers laquelle tend le produit des facteurs suivant les expressions (5). Pour cela, nous remarquerons que, quelque grand qu'on suppose or, on peut toujours prendre un

nombre impair \l tel, que Ton ait :c < — ou — < — ; et, en prenant Tw > a, -^ sera plus petit que - • Les deux arcs — 7 — seront

donc dans les conditions de deux arcs respectifs a, b dans le premier lemme ; et l'on aura, par conséquent,

sm — sm —

X ^ 7.x ^ X IZ

> — et <-,

un LtTT . un u

sm-i-— ^ sm-^—- *^