EN GÉNÉRAL

1 . L'évaluation des grandeurs d'une espèce quelconque est fondée sur deux notions nécessaires et suffisantes : celle de Tégalité, et celle de l'addition.

De ces notions résulte immédiatement celle de la décomposition d'une grandeur en parties égales. Lorsqu'on les a acquises on peut comparer entre elles les grandeurs de cette espèce, et en en choisissant une pour terme de comparaison, on pourra déterminer toutes les autres, comme nous allons le faire voir.

Le cas le plus simple de la comparaison d'une grandeur à une autre est celui où la première peut être décomposée exactement en parties égales à la seconde. Le résultat de la comparaison, ou le rapport de la première à la seconde,

Caie. in/., D. — I. X

n'est alors autre chose qu'une pluralité, ou ce qu'on appelle un nombre.

Mais, si la prçpiîère partie n'était pas exactement décomposable en parties égales à la seconde, le résultat de la comparaison ne serait plus une simple pluralité, ou ce que nous avons appelé un nombre. Néanmoins, comme il est très-utile dans les sciences de généraliser le plus possible, c'est-à-dire de renfermer le plus grand nombre possible d'idées particulières sous une même dénomination, on a cherché quelle extension il faudrait donner à la signification du mot nombre pour qu'il exprimât dans tous les cas le rapport de deux grandeurs de même espèce.

On a d'abord considéré le cas où les deux grandeurs ont une mesure commune. Pour fixer les idées, supposons que cette mesure soit contenue m fois dans l'une et n fois dans l'autre : alors la première est égale à m fois la /i**'"' partie de la seconde, et celle-ci à n fois la m'*"** partie de la première 5 on est convenu de dire que le rapport de la première à la seconde est m/i'*"*", et on l'écrit ainsi, —• Le rapport de la seconde à la première est dit réciproque ou inverse du premier et s'écrira — •

Ces nouveaux rapports ont encore été appelés des nombres \ et pour les distinguer des nombres entiers, on les a désignés sous le nom de nombres fractionnaires.

Sous quelque forme qu'ils se présentent, on dît que deux nombres sont égaux lorsqu'en prenant une même unité ils représentent des grandeurs égales.

Si l'une des grandeurs représentées est égale à l'autre augmentée ou diminuée d'une certaine quantité, on dit que le nombre correspondant est plus grand ou plus petit que l'autre^ et l'on dit qu'on ajoute plusieurs nombres quelconques, quand on considère celui qui correspondrait à la

DES QT7AITTITÉS GOIÎSIDÉRéES COMME LIMITES. 3

somme des quantités qui, comparées à une même unité, ont donné lieu aux premiers.

Enfin, si Ton considère deux grandeurs qui n'aient pas de mesure commune, et que Ton appelle à cause de cela incommensurables, elles ne présentent aucune des deux idées précédentes, et il faudra, ou dire qu'elles n'ont pas de rapport, ou donner à la signification du mot nombre une nouvelle extension. Mais il ne suffira pas que Ton convienne de dire que deux grandeurs incommensurables ont entre elles un rapport, et que ce rapport sera désigné sous le nom de nombre incommensurable, il faudra définir rigoureusement l'égalité des rapports ou nombres incommensurables. Notre manière de voir à cet égard, différente de celle de quelques Géomètres, est entièrement conforme au fond à celle d'Euclide.

Observons d'abord qu'en partageant l'une des grandeurs en parties égales suffisamment petites, et les portant dans l'autre autant de fois que possible, le reste sera moindre que l'une des parties, et, par conséquent, pourra toujours être rendu moindre que toute grandeur donnée; de sorte qu'il existera un rapport commensurable entre l'une quelconque des deux grandeurs et une autre qui différera aussi peu qu'on voudra de la seconde.

Cela posé, considérons deux grandeurs incommensurables ; divisons l'une d'elles, par exemple la plus petite, en parties égales dont le nombre croisse indéfiniment ; portons-les dans la plus grande et négligeons le reste : il en résultera une suite de rapports ou de nombres commensurables correspondant à la plus petite des grandeurs et à d'autres grandeurs commensurables avec elle, et qui difièrent de la seconde de quantités qui peuvent devenir moindres que toute grandeur désignée. Concevons, en second lieu, deux autres grandeurs incommensurables, de même nature Vune que l'autre, mais d'une espèce quelconque, et parta-

geons successivement la plus petite dans le même nombre de parties égales que la plus petite de la première espèce : on aura de même une nouvelle suite de rapports commensurables ^ et si ceux qui correspondent de part et d'autre au même mode de division, de la plus petite sont toujours égaux, quelque loin qu'on pousse cette division, on dit que les deux premières grandeurs incommensurables ont même rapport ou même raison que les deux autres.

2. Mais pour qu'il y ait lieu de définir ainsi l'égalité des rapports incommensurables, il est nécessaire de démontrer que l'égalité des rapports commensurables respectifs est indépendante de la loi suivant laquelle les subdivisions décroissent indéfiniment \ c'est-à-dire que si cette égalité a lieu pour une certaine loi, elle aura lieu pour toute autre. Cette proposition peut être démontrée comme il suit :

Soient A et B deux grandeurs incommensurables d'une espèce quelconque, et A^, B' deux autres grandeurs incommensurables, soit de la même espèce que les premières, soit de tout autres admettons que si l'on subdivise A et A' en un même nombre de parties égales, qui croissent indéfiniment suivant une certaine loi déterminée, on trouve constamment le mêpie nombre de ces parties contenues respectivement dans B et B' : il s'agit de démontrer que si l'on partage A et A' en un même nombre quelconque m de parties égales, non renfermé dans la loi donnée, il se trouvera toujours un nombre égal de ces subdivisions respectives dans B et B^

En effet, supposons qu'il y ait un nombre k de parties dans B et un nombre différent, par exemple plus grand, dans B'. Alors A -H i parties de la première espèce surpasseront B d'une certaine quantité que je désignerai par E^ tandis que A -H i parties de la seconde seront encore inférieures à B\ Cela posé, décomposons A en parties égales

moindres que E, et comprises dans la loi donnée ^ décomposons A' en un nombre égal de parties : d'après Thypothèse, il devra s'en trouver respectivement le même nombre dans B et dans B^ Mais il est évident qu'il y aura moins de parties plus petites que E dans B que dans B + E otL dans Al -H I des subdivisions en question -, et il y en aura évidemment autant dans ces k-hi subdivisions qu'il y aura de parties correspondantes dans les A -f- 1 subdivisions correspondantes de B', qui donnent cependant une somme inférieure à B'. Donc il y aurait dans B un nombre moindre de parties comprises dans la loi donnée, qu'il n'y aurait de leurs correspondaiflil^ dans B', ce qui est contre l'hypothèse, n est donc impossible qu'en partageant A et A' en un même nombre quelconque de parties égales, ces parties ne soient pas respectivement comprises dans B et B' le même nombre entier de fois.

La définition de l'inégalité des rapports incommensurables sera la même que pour les rapports commensurables. On dira toujours qu'un rapport est plus grand ou plus petit qu'un autre lorsqu'il est celui d'une quantité plus grande ou plus petite que la première, à la même seconde quantité. Et l'on appellera toujours somme des rapports de plusieurs quantités quelconques à une même unité le rapport de la somme de ces quantités à la même unité.

3, C'est au moyen de cette extension qu'Euclide a pu établir des théorèmes généraux dans la comparaison des surfaces entre elles et des solides entre eux. Il n'aurait pas pu dire que deux rectangles de même hauteur sont toujours dans le même rapport que leurs bases, ni que deux parallélépipèdes de même base sont dans le même rapport que leurs hauteurs; et tant d'autres propositions analogues n'auraient pu être énoncées généralement, s'il n'avait défini préalablement, non les rapports, mais V égalité des rapports, dans tous les cas qui peuvent se présenter.

6 LIYIOS I.

Ce n'est pas que pour les besoins de la pratique il y ait beaucoup d'intérêt à donner ce degré de généralité aux théorèmes relatifs à la comparaison, et, par conséquent, à la mesure des grandeurs ; car on peut toujours les rendre commensurables entre elles en les augmentant ou les diminuant de quantités moindres que toute grandeur désignée. Mais, au point de vue de la théorie pure, il faudrait dire que les propositions ne sont pas générales et n'ont de sens que quand toutes les grandeurs ont une mesure commune.