CHAPITRE n

DES FONCTIONS EN GÉNÉRAL, ET DE LA œNTINUTlE.

4. On désigne sous le nom de variable toute quantité qui, dans* la question où on la considère, est susceptible de recevoir successivement différentes valeurs. On nomme indépendantes celles dont les valeurs sont entièrement arbitraires, et dépendantes ou fonctions celles dont les valeurs sont déterminées par celles de certaines autres quantités, quelle que soit la nature de cette dépendance, et soit qu'il s'agisse de quantités concrètes ou de quantités évaluées en nombre. Dans le premier cas, on a des fonctions concrètes, et dans le second, des fonctions analytiques.

Les fonctions analytiques se distinguent en fonctions explicites et fonctions implicites. Les premières sont celles dont les valeurs peuvent s'obtenir au moyen d'opérations indiquées que Ton sait exécuter \ les autres sont celles qui sont liées aux variables indépendantes par des équations non résolues. Dans ce cas, les opérations à effectuer pour former les valeurs des fonctions ne sont pas indiquées. On les connaîtrait par la résolution des équations, si on pouvait l'effectuer \ et alors ces fonctions deviendraient explicites.

Les fonctions explicites se subdivisent ordinairement eu algébriques et transcendantes. Les premières sont celles où les seules opérations indiquées sont des additions, soustractions, multiplications, divisions^ élévation à des puissances et extractions de racines de degrés connus^ les autres •ont celles qui renferment d'autres opérations indiquées sur

les variables \ comme, par exemple, les quantités exponentielles, les logarithmes, les lignes trigonométriques, etc.

Lorsqu'une seule de ces diverses opérations est indiquée sur une variable, on a une fonction simple de cette variable. Lorsque plusieurs d'entre elles sont accumulées les unes sur les autres, on a ce que Ton appelle une fonction de fonctionSi Toutes les fonctions qui ne rentrent pas dans ces deux cas se nomment fonctions composées.

Lorsque deux variables sont liées par une équation quelconque, elles sont fonctions Tune de Tautre. La forme de ces deux fonctions est différente si les deux variables n'entrent pas dans l'équation d'une manière symétrique. On leur donne, l'une par rapport à l'autre, le nom àe fonctions ini^erses. Si, par exemple, on résout par rapport à x les équations suivantes, qui sont résolues par rapport kjr^

on obtient

X z=z "^y^ X = log^, X z= arc sinj.

Ainsi, d'après notre définition, la racine m'**"' est la fonction inverse de la puissance m 5 le logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle, etc.

Continuité,

5. tJne variable est continue lorsqu'elle ne peut passer d'une valeur quelconque à une autre, sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Une fonction est dite cdtitinue lorsqu'en faisant varier d'une manière continue les quantités dont elle dépend elle varie elle-même d'une manière continue, c'est-à-dire qu'elle ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les intermédiaires. Une fonction peut être continue tant que les variables dont elle dépend restent renfermées

entre certaines limites, et cesser de l'être, ou devenir discontinue, en dehors de ces limites.

Pour démontrer qu'une fonction qui est réelle entre certaines limites de la variable est continue, il suffit de faire voir que Ton peut faire croître la variable par degrés assez petits pour que les accroissements correspondants de la fonction soient moindres qu'une grandeur quelconque : car, si cette fonction n'était pas continue, il faudrait qu'elle passât brusquement d'une certaine valeur à une autre qui en difiererait d'une quantité finie •, ce qui est absurde, puisque l'accroissement de la fonction peut être rendu moindre que toute grandeur donnée. C'est ainsi que, dans les éléments, on a démontré que toutes les fonctions simples sont continues et que, par conséquent, il en est de même des fonctions composées. Réciproquement, toute fonction continue d'une variable jouit de la propriété que ses accroissements peuvent devenir moindres que toute quantité donnée, pourvu que Ton donne des valeurs suffisamment petites aux accroissements de la variable : car, si l'accroissement donné à la variable, à partir d'une de ses valeurs, tendait vers zéro, sans qu'il en fût ainsi de l'accroissement de la fonction, il en résulterait que la fonction passerait brusquement d'une valeur à une autre qui en diflTérerait d'une quantité finie, et que, par conséquent, .elle ne serait pas continue.

Si l'on considère les valeurs d'une fonction continue comme des ordonnées et les valeurs correspondantes de la variable indépendante comme des abscisses, les points ainsi obtenus se suivront sans interruption et formeront une ligne continue, qui sera la représentation géométrique de la fonction analytique.

6. Réciprocité. — Si F(x) désigne une fonction continue relativement à x, réciproquement x sera une fonction con-

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tinue de F(j?); c'est-à-dire que, sî cette dernière varie d'une manière continue, les valeurs correspondantes de x se suivront d'une manière continue.

En effet, les valeurs successives de F(a:) correspondant à des valeurs successives de x^ réciproquement, ces dernières correspondent aux premières^ mais, par hypothèse, celles-ci se suivent d'une manière continue lorsque les valeurs de x varient d'une manière continue. U en est donc de même de ces dernières lorsqu'on fait varier leurs correspondantes, c'est-à-dire les valeurs de F(j?), d'une manière continue.

7. Continuité des fonctions implicites, — Si deux variables sont liées par une équation dont les deux membres sont des fonctions continues de l'une et de l'autre, chacune de ces variables sera une fonction continue de l'autre.

Soient, en effet, x^ y^ ces variables, et F(a:,j^) = o l'équation qui les lie, F désignant une fonction continue, soit par rapport à x, soit par rapport à y. D'après tout ce qui a été établi précédemment, si x varie d'une très-petite quantité, il en sera de même de F(a:, j^)^ et, pour ramener cette dernière à sa valeur primitive zéro, il faudra que j varie aussi d'une quantité extrêmement petite \ donc, si x varie d'une manière continue, il en sera de même de y^ c'est-à-dire de la fonction implicite qui en dépend par une équation dont les membres sont des fonctions explicites de l'une et de l'autre.