MÉTHODE GÉNÉRALE

8. Les anciens Géomètres^ partant de la définition de l'égalité des quantités géométriques, fondée sur la superposition, et de la notion de l'addition de ces quantités, sont parvenus facilement à la comparaison et à la mesure des polygones plans, des parallélépipèdes et des prismes quelconques^ mais quand ils voulurent comparer des figures planes terminées par des courbes, ou des solides terminés par des surfaces courbes, les mêmes procédés ne pouvaient plus réussir.

Ils eurent alors l'idée assez naturelle, mais fondamentale, de considérer, au lieu des grandeurs elles-mêmes, d'autres grandeurs de Tespèce de celles qu'ils savaient mesurer et telles, qu'elles pussent différer des premières de quantités moindres que toute quantité désignée. Us cherchaient ensuite la relation entre ces grandeurs voisines des proposées, et dont ils rendaient la comparaison aussi facile que la question le permettait. Cette relation leur faisait aisément juger celle qui devait avoir lieu entre les grandeurs proposées ^ et ils démontraient cette dernière en prouvant, par la méthode pénible de la réduction à l'absurde, que la véritable relation ne pouvait en différer.

C'est dans les Eléments d'Euclide que l'on trouve les premières traces de cette importante méthode \ il l'applique à la comparaison des cercles entre eux, des pyramides entre elles et d'autres encore.

Archîmède Ta appliquée ensuite à la quadrature du segment parabolique ; mais il s'est élevé à une conception beaucoup plus féconde, dont nous parlerons bientôt, dans la manière de composer les grandeurs variables qui peuvent diflerer aussi peu qu'on voudra des proposées.

Avant d'entrer dans aucun détail à cet égard, nous exposerons les principes au moyen desquels les modernes sont parvenus à simplifier les démonstrations des anciens, sans leur faire rien perdre de leur rigueur.

Limite d'une variable,

9. Lorsqu'une grandeur variable prend successivement des valeurs qui se rapprochent de plus en plus de celle d'une grandeur constante, de telle sorte que la différence avec cette dernière puisse devenir et rester moindre que toute grandeur désignée, soit que la variable soit toujours audessous, ou toujours au-dessus, ou tantôt au-dessous et tantôt au-dessus de la constante, on dit que la première approche indéfiniment de la seconde, et que celle-ci en est la limite.

Lorsque cette limite est zéro, on donne à la variable le nom de quantité infiniment petite, ou simplement à' infini^ ment petit.

Remarque. — Il ne faut pas oublier que, pour que la quantité fixe soit limite de la variable, il faut non-seulement que leur différence devienne moindre que toute quantité défigurée, maïs qu'elle reste telle dans les variations qu'elle subira ensuite indéfiniment. Si cette différence, après être devenue inférieure à la quantité désignée, devenait ensuite plus grande, puis plus petite, ensuite plus grande et de même indéfiniment, la quantité fixe n'offrirait

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l3

pas le caractère que nous attachons à une limite, et nous ne lui donnerions pas ce nom.

Principe fondamental des limites.

10. Si deux quantités variables sont constam^ment égales et tendent chacune vers une limite, ces deux limites sont nécessairement égales. — En effet, deux grandeurs toujours égales ne présentent qu'une seule valeur, et il semble inutile de démontrer qu'une valeur variable ne peut pas tendre à la fois vers deux limites inégales, c'est-à-dire vers deux grandeurs constantes, différentes l'une de l'autre.

H est, au reste, bien facile d'ajouter quelques développements qui rendent plus claire encore, s'il est possible, cette importante proposition. Supposons, en effet, que deux variables toujours égales aient des limites différentes A et B, A étant, par exemple, la plus grande, et surpassant B d'une quantité déterminée A. La première variable, ayant A pour limite, finira par rester constamment comprise entre deux valeurs, l'une plus grande, l'autre plus petite que A, et ayant avec A une différence aussi petite qu'on voudra;

bomons-nous à supposer cette différence moindre que - A, Semblablement la seconde variable finira par rester indéfiniment à une distance de B moindre que - A. Or il est

évident qu'alors les deux variables ne pourraient plus être égales \ ce qui doit être cependant, d'après les données de la question. Ces données sont donc incompatibles avec l'existence d'une différence quelconque entre les limites des variables. Donc ces limites sont égales.

l4 LIVRE I.

Méthode des limites.

^\. Quand on veut trouver une relation entre des grandeurs qui ne se prêtent pas facilement aux comparaisons, on peut les considérer comme limites de grandeurs d'une espèce plus simple, et profiter de l'indétermination que cette condition laisse subsister, pour choisir ces variables de manière à faciliter la recherche d'une relation entre elles. Si l'on y peut parvenir, le problème est résolu.

En effet, cette relation peut toujours être considérée comme exprimée par une équation dont les deux membres seront des fonctions de ces variables. Ces dernières t^ sont point assujetties à la continuité, mais les deux membres de l'équation seront ce que nous avons appelé des fonctions continues de ces variables, au moins dans le voisinage de leurs limites.

Soient a, i, c, . . . les quantités entre lesquelles on cherche une relation •, j?, j^, z, . . , les variables dont elles sont les limites \ et supposons qu'on ait trouvé entre elles l'équation

F et y désignant des fonctions continues de x^y^ z^, . • au moins lorsque ces variables sont dans le voisinage de leurs limites respectives a, J, c, . . . . Il résulte de là que les différences de ces variables à leurs limites peuvent être assez petites pour que les fonctions F [x^ j^, z, • . . ) et /*(x, ^, ^, •..) diffèrent aussi peu qu'on voudra de F(a, i, 0,. . .) et f[a^ b^ c^. . .). .Ces deux expressions constantes sont donc les limites vers lesquelles tendent les deux membres de l'équation. Mais les limites de quantités égales sont égales : donc on aura nécessairement

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. l5

c*est-à-(iire que la relation entre les limites sera identiquement la même que celle qui avait lien constamment entre les variables, et qu'il suffit de changer dans celle-ci les variables dans leurs limites pour avoir la relation qui existe entre ces dernières.

Si cette substitution introduisait des indéterminations apparentes, on les ferait disparaître par des procédés que nous aurons occasion de faire connaître par la suite.

On voit donc que la méthode des limites consiste à considérer des quantités dont on veut , découvrir la relation, comme limites de quantités plus simples, et à chercher la relation de ces dernières. Lorsqu'elle est établie, il ne reste plus, d'après le théorème précédent, qu'à substituer à tx>utes les variables leurs limites respectives.

Les quantités variables qui ont pour limites les quantités proposées peuvent être choisies de bien des manières différentes, comme nous avons déjà eu l'occasion de le dire, et ce choix est très-important. Les calculs peuvent être trèssimples ou très-compliqués, suivant la nature de ces variables, et dans chaque cas particulier il faudra s'attacher d'abord à reconnaître quelles sont celles qui donneront le plus de facilité au calcul. Ainsi, par exemple, quand on cherche la relation entre les surfaces de deux cercles et leurs rayons, on considère ces cercles comme limites de polygones réguliers semblables, parce que la relation entre ces polygones et les rayons des cercles est très-facile à obtenir; tandis qu'elle aurait été très-difficile à découvrir si l'on avait supposé différents les nombres des côtés des deux polygones, et que de plus on ne les eût pas supposés réguliers. Au reste, si cette dernière était découverte, elle conduirait nécessairement à la même relation entre les cercles et leurs rayons, et le choix des variables n'a d'autre effet que de conduire plus ou moins simplement au résultat. Mais il n'y a aucune règle précise à donner à ce sujet.

l6 LIVRE I.

U peut arriver que les deux membres de régalîté, quoique composés de quantités variables, restent constants^ on aura toujours la relation entre les quantités proposées, en remplaçant les variables par leurs limites. On remarquera seulement que cette substitution, au lieu de donner les limites des deux membres, donne leur valeur constante. Au reste, on aurait facilement deux membres variables, en faisant passer l'un des termes variables d'un membre dans l'autre, ou encore en multipliant par un dénominateur variable; mais ce serait une transformation inutile, et que, par conséquent, il ne faut jamais faire.

Avant de passer à l'étude un peu approfondie des diflférentes manières dont les quantités peuvent être considérées comme limites d'autres, d'espèce plus simple, nous croyons utile de donner de courtes explications au sujet de quelques définitions dépendantes de la considération des limites.