CHAPITRE lY

BÉFLEXIONS AU SUJET DE QUELQUES DÊFINÏTIONS.

De Vinjîni.

12. Le mot infini est employé pour exprimer Tabsence de limites, de bornes quelconques : c'est ainsi que Tcspace et le temps sont dits infinis. Cette idée exclut évidemment celle de toute comparaison sous le rapport de la grandeur. Néanmoins, pour abréger le discours, on parle souvent de quantités infinies \ on les soumet aux mêmes opérations que les quantités finies, et il est très-important de ne pas se méprendre sur la manière dont ce langage doit être entendu.

Ces quantités dites infinies ne peuvent se présenter que de deux manières : ou comme solutions, ou comme données d'une question.

L'infini peut se présenter comme solution lorsque, pour déterminer certaines quantités, on les regarde comme dépendantes d'une autre, et que, dans le cas particulier que Ton a en vue, cette dernière n'existe plus^ tandis que pour des cas très-voisins elle aurait des valeurs qui pourraient dépasser toute grandeur assignée. Ainsi, par exemple, pour déterminer un angle, on peut, en général, prendre pour inconnue sa tangente trigonométrique \ mais il faut excepter le pas particulier de l'angle droit. Les équations qui donneront la valeur de cette tangente devront conduire à une expression qui croîtra indéfiniment, à mesure que les données se rapprocheront de celles qui conduiraient pour solution à l'angle droit. Dans ce dernier cas, l'expression ne doit plus

Calcul in/., D. — L a

l8 LIVRE I.

rien représenter, et apprendra par cela même que la question se rapporte à ce cas particulier. La forme qu'elle prendra le plus ordinairement sera celle d*un nombre fini, divisé par zéro. On dit alors que la valeur de l'inconnue est infinie et que l'angle correspondant est droit ^ de sorte que la question proposée est possible, et sa solution est déterminée. Mais si la quantité dont la valeur générale se présente dans un cas particulier sous la forme illusoire d^un nombre divisé par zéro n'est pas une inconnue auxiliaire, mais bien celle que l'on voulait déterminer, il est clair que la question proposée était impossible.

i3. L'infini peut encore se présenter autrement que comme solution d'équations dans des cas particuliers; il peut se trouver ^SLVkS les données mêmes de la question. On peut se proposer de trouver la limite du rapport, de la difierence, ou de toute autre fonction de quantités dépendant les unes des autres et croissant sans limites» Dans ces divers cas, osx dit quelquefois que cette limite est le rapport, ou la diiTérence, ou la fonction quelconque de ces quantités infinies^ mais il n'y aurait aucun sens à attribuer à la comparaison des deux infinis, puisque, comme je l'ai déjà dit, l'infini ne signifie pas une grandeur, mais l'absence de limites : ainsi, si l'on mène dans un plan des parallèles équidistantes, il est absurde de dire que les espaces infinis renfermés entre les parallèles consécutives sont égaux. Mais si l'on cherche les rapports de ces espaces croissant indéfiniment, on peut bien se demander quelles sont leurs limites, et l'on trouve alors un résultat complètement indéterminé-, car on peut faire croître indéfiniment les longueurs de deux de ces bandes en établissant entre elles une relation arbitraire^ et l'on ne trouverait le rapport de ces bandes infinies égal à l'unité que dans des cas très-particuliers.

Ce même langage vicieux est souvent employé quand ox^

DES QUANTITÉS CONâlOé&ÉES COMME LIMITES. 1:^

veut dësi^B^r ks limites vers lesquelles tendent de& grandeurs variables, lorscpie certaines autres grandeurs, dont elles dépendent, croissent sans limite;. Ainsi, par exemple, le cercle e$t la. limite vers lacjuelle tend un polygone régulier inscrit, dont le nombre des côtés croit indéfiniment; et, pour exprimer cette propriété^ on dit quelquefois que le cercle est un polygone régjulier d'une infinité de côtés. On dit encore qu'une droite en rencontre une autre à l'infini, au lieu de dire qu.'elle est la limite d'une droite qui rencontre l'autre à une distance qui augmente sans limite.

Toutes ces JEaanièrea de s.'exprimer ont des inconvénients pour ceux, dont les idées ne sont pas encore bien £sdtes, et liûtts ne. les» emploiegow jamais*.

Desnomimes imommemmxAles^,

i4« Lorsque nou av^»is donné la définition, nonrpas des rapportsi incommensurables, majA de l'égalité de rapports de quantiliéftûfteommensurables en4:re elles, nous avons fait penàaff<^er (pie ce A'était que par une extension donnée au moC nombre que l'on pouvait dire que. ces quantités ont un rapport qui e^. un. nombre* Il n'y avait, dcme pas lieu de dire (pi?'en pouvait, approcher indéfiniment du rapport de deux <]uaBtitési iacommensurables, au moyen de rapports conifiaensuraldes,,m, par suite,, de regarder les nombres incommensarables comoie limites des nombres commensurablescetd'y appliquer les principes relatifs aux limites.

Mais, après avroir fait l'extension du sens du mot nombre, et avoir défini avec précision l'égalité et l'inégalité des nombres incommensurables^ ainsi que le sens du mot limite^ il est facile de reconnaitre que le rapport de deux qjoantités incoaunensurables est bien la limite de nombres commensurables variables. En effet, nous avons vu qu'on pouvait approcher indéfiniment de la première quantité, au moyen

de quantités commensurables avec la seconde, plus grandes ou plus petites que la première, dont elles diffèrent de moins que d'une subdivision de la seconde. Les rapports de ces variables à cette seconde sont commensurables et croissent ou décroissent avec les variables. De plus, pour avoir le rapport incommensurable lui-même, il faudrait, d'après la définition de la somme des nombres, ajouter ou retran* cher au rapport variable celui du reste ou de l'excès à cette quantité constante. Ce dernier rapport, qui, d'après la définition de plus petit et plus grand, est inférieur à celui d'une subdivision qui peut devenir ny^indre que toute quantité donnée, tend donc indéfiniment vers zéro. Donc, d'après le sens étendu donné à toutes les expressions, les nombres incommensurables sont limites de nombres commensurables, et tous les principes des limites y sont applicables.

15. Remarque. — On peut arriver à l'idée des nombres incommensurables autrement qu'en comparant deux grandeurs concrètes et qui n'ont pas de commune mesure, et par des considérations purement arithmétiques, comme, par exemple, celles des racines, des logarithmes, etc. Dans ces cas, on trouva des nombres commensurables qui satisfont à des conditions de plus en plus voisines des proposées, et qui, en prenant une unité de nature quelconque, représenteraient des quantités concrètes tendant vers des limites déterminées. On convient alors de dire que ces limites, incommensurables avec l'unité, ont avec elle des rapports que l'on appellera nombres incommensurables, et qui seront dits satisfaire aux conditions ou équations proposées.

Arrivant ainsi à la considération du rapport de deux grandeurs qui n'ont pas de commune mesure, on ajouterait les différents développements que nous avons donnés précédemment.

De Véquwalence,

i6. La notion de réquivalence parait si naturelle et si simple, que les géomètres ont rarement senti la nécessité de la définir. Euclide ne fait aucune dillérence entre Téquivalence et Tégalité, il se sert du même mot pour désigner Tune et Tautre •, il dit égaux deux triangles de même base ctde même hauteur. Mais aujourd'hui que l'égalité en Géométrie se -définit exclusivement par la coïncidence, il n*est plus permis de dire égales des figures qui ne peuvent coïncider', et lorsqu'on les appelle équivalentes, il faut dire sans équivoque ce* qu'on entend par là, et qu'il n'y ait pas plus d'obscurité dans l'équivalence d'un cercle avec un carré que dans l'égalité de deux triangles.

Quelques auteurs, voulant faire la distinction des deux égalités, ont appelé la seconde égalité en surface, mais ils n'ont donné aucun caractère précis pour la reconnaître. Us l'ont admise pour les figures résultant de la réunion ou de la soustraction de figures égales, ou pour les mêmes parties aliquotes d'une même figure conduisant à des figures non superposables. Ainsi, par exemple, on peut partager un parallélogramme en deux parties égales d'une infinité de manières, puisqu'il suffit de le couper par une ligne passant parle point de rencontre de ses diagonales. Toutes ces moitiés, de formes si diverses, sont dites équivalentes. Mais tous ces cas simples seraient insuffisants, et d'ailleurs auraient besoin d'être ramenés à un caractère commun qui servirait alors de définition à l'équivalence. Autrement, on pécherait contre le principe général que nous avons énoncé au commencement de cet Ouvrage, et qui consiste en ce que l'application des nombres à l'étude des grandeurs de toute espèce exige préalablement une définition précise de Téga-

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lité, c'est-à-dîre des conditions sous lesquelles le rapport

de deux grandeurs sera dit égal à l'unité.

Cela posé, nous dirons que deux quantités géométriques sont équivalentes lorsqu'elles seront composées de parties égales, ou seroM limites de quantités variables composées de parties reapectii^smient égaies^

IL «On peut vemarquer que^ si l'on, oonçoft les partiiç^ foorrespondances de i^'^ quantités évialuées par rapport â UBie même unité, 42m trouvera de part et d'autre les mèoiies nombres €t les: mêmes sommes è/t nombres \ de sorte ope les quantités équivalentes seront exprimées par les mêmes nxmfares ou par les limites de nombres égaux. Mais cette propriété ne àmX pas être choisie pour servir de définitioa; cUe est immédiatement fbndée sur la précédente, d'après le sens que nous avoifes attaché à régcetîté et à l'addition des nombres.

Les quantités équivalentes étant exprinuées par des nombres égaux, tontes les opérations de soustraction, de division», et€«, faites sur des quantité «équivalentes donnèrent les quantités exprioiiées par des nombres égaux, et, par conséquent, équivalentes. Par exemple, ide quelque manière qu'on partage ii»n parallélogramme en deux parties égales, toutes ces figures non superposables sont équivalentea.

DES QUANTITÉS CON^IBÊKÊES COMME LIMITES. tl3

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