CHAPITRE Y

DES DIFFÉRENTES MANIÈRES DONT LES QUANTITÉS PEIIVENT ÊTRE CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE VARIABLES.

18. Les grandeurs peurent être eonsîdérëès «omme dépendant de limites de variables de bien des manières différentes. Les formes de leurs expressions peuvent être aussi diverses que celles des questions mêmes dont elles sont les solutions.

Mais lorsqu'il s'agît seulement de ramener une quantité à d'autres plus faciles à traiter, et qu'on n'aperçoit pas immédiatement une quantité vmable d'une espèce plus simple dont elle soit la limite, on emploie le plus ordinairement l'un des deux procédés suivants, qui ont été imaginés par les géomètres anciens et considérablement développés par les modernes.

Ces deux procédés ont cela de commun : qu'ils consistent l'un et l'autre à enlever successivement de la quantité proposée des quantités d'une espèce plus simple, en laissant un reste qui présente bien les mêmes difficultés que la quantité en question, mais qui diminue de plus en plus et a pour limite aéro. Par là on tend de plus en plus à épuiser la quantité, ce qui a fait donner à la méthode fondée sur ces procédés le nom de méthode dHexhaustion. Mais il y a deux manières très-différentes de procéder à l'épuisement de la quantité. Dans l'une on enlève d'abord une certaine quantité déterminée, et l'on ne s'occupe plus que de ce qui reste •, puis on enlève de ce reste une nouvelle quantité déterminée, et l'on <J)tient un nouveau reste sur lequel on agit de même \ et

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aîusî de suîte indéfiniment, de telle sorte que les restes puissent devenir moindres que toute quantité donnée. Cette propriété s'exprimerait dans notre langage en disant que la quantité est la limite d'une somme de quantités fixes dont le nombre augmente indéfiniment.

Le second procédé, dû à Arcliimède, consiste à considérer dans la grandeur des parties d'espèce plus simple, non pas fixes comme dans le premier, mais pouvant décroître chacune indéfiniment de telle sorte, que leur somme diffère de la grandeur en question d'une quantité qui puisse devenir moindre que toute quantité donnée. C'est ce que nous exprimerions en disant que les grandeurs sont considérées comme limites de sommes de quantités infiniment petites, dont le nombre augmente indéfiniment.

Les anciens ne faisaient pas de ces propositions le même usage que nous. Elles leur servaient bien à découvrir la relation entre les quantités proposées, et ils n'avaient certainement aucun doute à cet égard ^ mais ils se croyaient obligés de la démontrer avec une plus grande rigueur. Pour cela, ils supposaient que la véritable relation fût différente de celle qu'ils annonçaient, et faisaient une énumération complète de toutes les formes qu'elle pourrait avoir si celle-ci n'était pas exacte. Ils considéraient ensuite chacune de ces formes, et démontraient qu'elle était inadmissible parce qu'elle conduirait à une absurdité : d'où il résultait nécessairement que la relation annoncée était exacte.

Les contradictions ou absurdités auxquelles ils parvenaient s'obtenaient en se fondant sur la possibilité d'approcher indéfiniment des quantités proposées au moyen d'autres plus simples, jnais ils n'avaient pas besoin de les faire varier comme le demande la théorie des limites ; ils se contentaient de les supposer assez rapprochées de leurs limites pour faire ressortir l'absurdité: ce qu'ils n'auraient pu faire, toutefois, s'ils n'avaient pas démontré la possibilité d'une ap-

proximation indéfinie, qui est le caractère essentiel de ce que les modernes appellent limites.

C'est ce que nous rendrons bien clair par quelques exemples.

Les modernes ont fait entrer d'une autre manière encore les infiniment petits dans l'expression des variables dont les limites font connaître les quantités cherchées : ils ont considéré les rapports des infiniment petits entre eux. Lorsque deux quantités tendent, vers zéro en dépendant l'une de l'autre, leur rapport est une quantité déterminée qui tend en général vers une limite finie. Cette considération, inconnue aux anciens, est un des plus grands progrès que la Science doive aux modernes.

L'objet principal de cet Ouvrage est de traiter des infiniment petits sous ces deux points de vue. Nous aurons cependant l'occasion d'employer les séries dans l'évaluation des grandeurs, et d'ailleurs nous ne pouvons nous dispenser de dire quelques mots sur la manière dont elles ont été introduites par les anciens géomètres.

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