DES GRANDEURS €ONSQ>ËRÉES COMME LIMITES DE SÉRIES

19. Les premiers exemples de ce procédé d'épuîsementou âHexhaustion ont été donnés par Euclide, d'abord, au sujet de la surface du cercle, ensuite pour le volume de la pyramide triangulaire, et enfin du cylindre, du cône et de la sphère.

Les diverses propositions qu'il établit sont fondées stir un même lemme dont voici Fénoncé :

Si d'une grandeur quelconque on ôte plus que sa moilié, que du reste on ôte de même plus que sa moitié, qiîon agisse de la même manière sur le noui^eau reste, et ainsi de suite indéfiniment, les restes finiront par dci^enir moindres que toute quantité donnée.

La vérité de cette proposition s'aperçoit immédiatement^ car, le premier reste étant moindre que la moitié de la grandeur, le second sera moindre que le quart, le troisième que le huitième, et ainsi de suite \ ils finiront donc par être au-dessous d'une fraction aussi petite que l'on voudra de la grandeur proposée, et, par conséquent, moindres que toute quantité désignée.

Dans notre langage, cette proposition s'exprimerait ainsi :

La somme des parties successii^ement enle\^ées de la quantité proposée est une variable qui a pour limite cette quantité même.

DES QUATïTITÉS CONSœÉftÉES COMME XIMITES. 3^

AppUcatian au cercle.

20« Euclide commence par inscrire un cairé dans le cercle. Sa surface, étant la moitié de celle du carré circonscrit, est plus grande que la moitié de celle du cercle. En l'enlevant, il restera donc moins de la moitié de la surface du cercle.

Si dans les quatre segments restants on inscrit des triants îsoscèles, ils seront les moitiés de rectangles circonscrits à ces segments, et, en les enlevant, il restera huit mwLveaux segments formant une surface moindre que la moitié de celle des quatre précédents. En agissant de même pour ces huit segments, on enlèvera huit triangles qui en feront plus de la moitié, et laisseront, par conséquent^ seize segments formant une surface moindre que la moitié des huit précédents. En continuant ainsi indéfiniment, on voit, d'après le lemme précédent, que ce qui reste du cercle peut devenir moindre que toute surface donnée.

On peut donc approcher indéfiniment de la surface du cercle an moyen d'une série dont chacun des termes est la réunion des triangles inscrits dans les segments égaux dont le ncmibre va toujours en doublant. La somme des deux premiers termes forme l'octogone régulier inscrit •, la somme des trois premiers forme le polygone régulier d^un nombre double de côtés, et ainsi de suite indéfiniment. On approche donc ainsi du cercle au moyen de polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés augmente indéfiniment. La démonstration suppose que ce nombre va toujours en se dou- Uant, ce qui n'est pas nécessaire à l'exactitude de la proposition. Mais si l'on ne voulait pas s^assujettir à cette condition, il faudrait considérer en même temps des polygones circonscrits semblables, et prouver que la différence des aires de deux polygones semblables» l'un inscrit, l'autre

aS LIVRE ï.

circonscrit au cercle, peut devenir moindre que toute quantité donnée ; et la difTérenc'e du cercle à Tun ou l'autre de ces deux polygones étant moindre que cette même quantité, il s'ensuivrait que le cercle serait la limite des aires des polygones réguliers inscrits ou circonscrits, dont le nombre des côtés ne serait assujetti qu*à augmenter indéfiniment.

application à la pyramide triangulaire.

21 . Soit la pyramide S ABC [fig* i). En joignant les milieux des arêtes, on forme deux prismes triangulaires équivalents AHGDEF et HEICFG, et deux pyramides triangulaires SDEF, EHBI, égales entre elles, semblables à la première, et ayant leurs arêtes deux fois moindres que les siennes. L'un des deux prismes a pour base le quart de celle de la proposée et une hauteur moitié moindre. Il est plus grand que Tune des deux pyramides \ car on reconnaît facilement qu'une pyramide DAHG, égale à Tune d'elles, pourrait être renfermée dans ce prisme : d'où il suit que la somme des deux prismes, étant plus grande que les deux pyramides restantes, est supérieure à la moitié de la pyramide proposée. En décomposant ces deux pyramides de la même manière que la première, les prismes que l'on formera seront supérieurs à la moitié de ces pyramides, et il restera un nombre double de pyramides ayant leurs arêtes moitié moindres.

En continuant ainsi indéfiniment, on obtient une suite de prismes en nombre indéfiniment croissant, et dont la somme peut différer aussi peu qu'on le voudra du volume de la pyramide. En effet, après avoir enlevé les prismes de premier ordre, il reste moins de la moitié de la pyramide; après avoir enlevé de ce reste les prismes de second ordre, le reste est moindre que la moitié du premier et, par conséquent, que le quart de la pyramide. Le troisième reste, moindre que la moitié du second, sera moindre que le hui-

DES QUANTITÉS COIf SIDÉRÉES COMME LIMITES. 29

tième de la pyraDiide, et ainsi de suite. Donc on peut arriver à un reste moindre que tout volume désigné. La pyramide est donc la limite de la somme des prismes d'ordres successifs, obtenus comme nous l'avons indiqué.

22. Nous nous bornerons à ces deux applications, qui suffisent à bien faire comprendre la conception d'Euclide-, mais nous croyons devoir indiquer Fusage qu'il en a fait pom* la démonstration des importants théorèmes qu'il avait en vue.

Les surfaces des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons.

Soient S, S' les surfaces de deux cercles quelconques •, R, M leurs rayons 5 il faut prouver que l'on aura

En effet, si cette proportion n'est pas exacte, on en pourra toujours former une avec les trois premiers termes, et un quatrième plus grand ou plus petit que S'. Soit 2 ce quatrième terme, et supposons-le d'abord plus petit que S. On aura donc, d'après cette hypothèse,

Inscrivons dans les deux cercles des polygones réguliers semblables, dont le nombre des côtés augmente indéfiniment. Soient P, P' leurs surfaces, on aura toujours

et, par suite,

quelque rapprochées que les surfaces des polygones variables le soient de celles des cercles. Or, quelque petite que soit la différence de E et de S', comme elle est invariable, et (jue la différence de P' à S' pourra devenir moindre, d'après ie lemme 11 s'ensuit que P' pourra devenir plus grand que 2 5

3o LIVRB 1*.

et alors la dernière proportion est impossible, puàsque P est plus petk qiM &\ tandis que P^ esit plus grand ^e Z.

On arrive ds^nc à une conséquence fausse en supposanH que S soit plus petit que S : donc il ne Test pas*

Il res&e à prouver qu'il n'est pas plias grand.

DéjÀ Euclide^ au Ueu d'employer «me dé]!nonstirati4)a analogue^ a prc£éré ramener ce second cas au premier.. U fait reiEtarquer pour cela que si la proportion en. questioiL devient exacte en prenant un quatrième terme, S plus grand que S', elle pourrait le devenir en diminuant le troisième sans changer le quatrième. Désignant par A la surface plus petite que S, qu'il faudrait prendre pour troisième terme, on aurait

R2:R"::a:S' ou r'^iR' :: s' : a, *

ce qui ne diffère en rien du premier cas et conduirait à la même absuirdité atu moyen des polygones réguliers inscrits. Donc le quatrième terme S ne peut être plus grand ^ae S'; or il ne peut pas être plus petit. Donc il est S', et la propc»*tion énoncée est exacte. Telle estJadémonatratioad'Euclide.

23. Remarque. — Au lieu de ramener le second cas au premier, Euclide aurait pu le traiter directement d'une manière analogue, en employant des polygones réguliers circonscritsau lieu de polygones inscrits aux cercles ^ mais il aurait fallu qu'il démontrât d'abord qu'on peut approcher indéfiniment de la surface d'un cercle au moyen de polygones réguliers circonscrits dont on double indéfiniment le nombre des côtés. Il a voulu se dispenser de ce lemme, presque aussi facile à démontrer que le premier et qu'il était bon de connaître, quoique dans le cas actuel il ne fut pas indi&peiLsable. Il est impossible qu'il n'ait pas. remarqué que, si l'on passe d'un polygone réguUer circonscrit à un^cercle, et qu.'on double le nombre de ses^ côtés en menant des tangentes par les milieux entre ses: points de contact, on a retranché de la

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surface du premier une quantité plus grande que la isioitîé de sa différence arec la surface du cercle; si Ton i^ de même sur le nouveau polygone, d'un nombre de côtés double, on en retrancbera plus de la moitié du reste précédent, et, si Ton continue ainsi indéfiniment, ce qui restera de la première différence pourra devenir moindre que toute quantité donnée. Or, ces restes successifs étant les différences des polygones successifs au cercle, il est démontre qu'en doublant toujours le nombre des côtés des polygones circonscrits, leur différence avec la surface constante du cercle peut devenir moindre que toute quantité donnée.

S'il avait établi ce second lemme, il aurait facilement démontré que le quatrième terme 2 ne peut être plus grand que S' ^ il aurait suffi qu'il considérât des polygones réguliers semblables circonscrits aux deux cercles, et qu'il doubl«it le nombre des côtés des polygones successifs jusqu'à ce que Ton obtint un polygone P ' circonscrit au second cercle, qui différât moins de la surface de ce cercle que S n'en diffère ] ce polygone étant alors plus petit que 2, tandis que son correspondant P est toujours plus grand que S, la proportion S : 2 :: P : P', à laquelle on est conduit, comme dans le premier cas,, serait, absurde. Donc le quatrième terme ne peut être plus grand que S'.

24. Deux pyramides triangulaires de même hauteur sont entre elles comme leurs bases*

En opérant dans ces deux pyramides la décomposition iudiquée précédemment, les prismes correspondants seront toujours dans le rapport des bases des pyramides respectives, et, par conséquent, il en sera de même des sommes successives de ces prismes, qui pourront approcher indéfiniment des volumes des deux pyramides proposées. Il n'était pas difficile de juger que ces dernières étaient dans ce même l'apport^ il ne restait qu'à l'établir d'une manière inoontes-

table. Soient V, V les volumes des deux pyramides 5 B, B' les surfaces de leurs bases ^ S, S' les sommes variables des prismes intérieurs aux pyramides. Si Ton n'a pas

on pourra former une proportion entre les trois premiers termes et un volume plus grand ou plus petit que V. SoitU ce volume, et supposons-le d*abord plus petit que V. On aura ainsi

et toujours

par suite

Or, en augmentant indéfiniment le nombre des prismes, S et S' finiront par différer aussi peu qu'on voudra de V et de V-, par conséquent, S' pourra diflférer de V moins que U n'en diffère, et sera, par suite, plus grand que U. Il est donc impossible que l'on ait

et, par conséquent, l'hypothèse qui y a conduit est absurde; il est donc impossible que la proportion dont les trois premiers termes sont B, B', V ait pour quatrième terme une quantité plus petite que V.

Euclîde démontre, par le même détour que dans le cas des cercles, que le quatrième terme ne peut être plus grand que V '*, d'où il conclut qu'il est V, et que, par conséquent, les deux pyramides triangulaires de même hauteur sont entre elles comme leurs bases,

25. Archimède a employé la même méthode pour obtenir la mesure du segment parabolique. U le considère de même comme limite d'une série; mais il a été obligé de calculer l'expression de la somme de cette série parce qu'il ne cher —

chait pas, comme Euclide, le rapport de deux quantités de même espèce, mais la mesure même du segmeiit. C'est à celte circonstance qu'on doit la première détermination de la somme des termes d'une série convergente et la limite de cette somme.

26. Aire du segment parabolique. — Soit le segment parabolique quelconque ASB {fig* 2).

Soit se le diamètre des cordes parallèles à AB5 C sera le milieu de AB, et la tangente en S sera parallèle à AB. Le triangle ASB, moitié du parallélogramme ABA'B' dont les côtés AA', BB' sont parallèles à SC, et qui, par conséquent, renferme le segment ASB, sera plus grand que la moitié de ce segment.

Faisons pour les deux segments dont les bases sont SA, SB ce que nous venons de faire pour le premier^ les triangles SDB, AD'S seront supérieurs aux moitiés de ces segments. Agissons de même pour les quatre segments restants dont les bases sont BD, DS, SD', D'A, et continuons ainsi indéfiniment. U est facile de voir que le premier triangle ASB, plus les deux triangles du second ordre, plus les quatre de troisième ordre, plus les huit de quatrième, etc., forment une somme dont la limite est le segment ASB, Car on prend d'abord plus de sa moitié, ensuite plus de la moitié du premier reste, plus de la moitié du second, et ainsi de suite indéfiniment. D'où l'on conclut, par les mêmes raisons que dans l'exemple précédent, que le segment est la limite de la somme des triangles.

Cette démonstration est due à Archimède^ il a prouvé ensuite que la somme des triangles d'un ordre quelconque est le quart de la somme de ceux de l'ordre précédent. Soit, par exemple, le segment ASB^ menons DI, EH parallèles à BC, E étant le milieu de SB. On aura