__ ASB ASB ASB

C'est précisément à cette occasion qu'Archimède a trouvé la formule de la somme des termes d'une progression.

Ses raisonnements pourraient s'appliquer à toute progression, mais il ne s'occupe que de celle dont il a besoin «t trouve pour la somme arrêtée au terme /

4 ASB l 3 ""3'

La somme des triangles de diflerents ordres peut donc dîf-*.. férer aussi peu qu'on voudra de ^ ASB, et comme cet^^

somme peut différer aussi peu qu'on voudra du segment,

il était bien facile de reconnaître que ce segment et ~ ASB

ont la même valeur. Mais, pour éviter Içs objections des sophistes, Archimède se croit obligé de démontrer que le segment ne peut être ni plus petit ni plus grand que les

^ du triangle SA6, ou les -^du parallélogramme ABA'B'.

Sa démonstration est analogue aux précédentes, et nous nous dispenserons de la reproduire.

27. Ces exemples suffisent pour faire comprendre comment les anciens ont été conduits à considérer que les grandeurs pouvaient être approchées indéfiniment par des sommes de grandeurs fixes, dont le nombre croissait indéfiniment •, ou, suivant notre langage, comment des grandeurs pouvaient être considérées comme limites de séries. Nous allons maintenant montrer comment la méthode des modernes abrège leurs démonstrations fondées sur la méthode de réduction à l'absurde.

Les mêmes propositions démontrées par la méthode

des limites.

Nous conserverons les démonstrations des anciens pour établir que le cercle, la pyramide et le segment parabolique senties limites de grandeurs d'espèce plus simple. La simplification consistera seulement dans le passage de la relation des variables à celle des limites. Considérons successivement les trois propositions précédentes.

28. Les surfaces de deux cercles sont entre elles comme ^ les carrés de leurs rayons,

^ ^ÊÊÊlérysLUt les mêmes dénominations que ci-dessus,

nous aurons d'abord

or on a démontré que P et P' ont pour limites les surfaces S, S' des deux cercles ; et le principe général dit qu'en remplaçant les variables qui entrent dans une équation par leurs limites respectives, on a une équation exacte entre ces limites. L'équation précédente entre les variables P et P' conduira donc à la suivante :

et, par conséquent, les surfaces de deux cercles quelconques sont entre elles comme les carrés de leurs rayons.

29. Deux pyramides triangulaires de même base sont entre elles comme leurs hauteurs.

Nous avons trouvé précédemment

remplaçant les variables S, S' par leurs limites V, V, on

aura

V'""B'' ce qu'il fallait démontrer.