Hyperboloïde de révolution. — Soit l'équation

d'une hyperbole j^* = ~ (x'4- lax) rapportée à son som-

met A {fig» i8). Supposons qu'elle tourne autour de son axe transverse, et proposons-nous de calculer le volume V détaché par un plan perpendiculaire à Taxe mené à

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. y 5

une distance AD = rf. Il est la limite de Sttj^*» ou de ?»

Or on a, d'après le n** 43 déjà cité plusieurs fois,

irfc»

donc

limita = — 5 limSx'a =: -;r-î 2 3 '

Arcliimède, dans la solution qu'il a donnée de ce problème, cherche le rapport du segment de Thyperboloïde au cône de même base et même hauteur, et parvient à la formule suivante, qui donne le même résultat.

Le volume du segment est à celui du cône de même base et même hauteur comme la hauteur du segment, plus trois fois le demi-axe transverse, est à cette même hauteur augmentée de Taxe transverse.

5S. Remarque, — Si une surface dont Taire est A tourne successivement autour de deux axes fixes parallèles U, V [Jig» 19) situés dans son plan, les volumes engendrés auront pour différence le produit de Taire A par la circonférence dont le rayon est la distance d des 4l^ux axes.

En effet, soit une perpendiculaire quelconque QPMM aux axes qui coupe ceux-ci en Q, P, et la courbe en M, M'. Soient MP=a:, M'P = a:', MQ = X, M'Q = X', a la distance de QM' à la parallèle infiniment voisine.

Les volumes engendrés autour des deux axes sont les limites des deux sommes suivantes :

et comme on a

y 6 LIVRE I.

il s'ensuît

donc la différence des deux sommes est 2irrfZ(a:' — x)a ou 27rrfZMM'a.

Maïs SMM'a a pour limite l'aire A 5 donc la limite de la différence des deux sommes, ou la différence de leujrs limites, et, par conséquent, des volumes engendrés, est 2.r.dKy comme nous l'avions annoncé.

S6. Volumes engendrés par des paraboles ou hyperboles d^ ordres quelconques, — Considérons le volume engendré par la révolution autour de Taxe des a:, d'une courbe représentée par l'équation y ^= p .r^, dans laquelle on suppose m quelconque en valeur et en signe, et qui peut, par conséquent, représenter des paraboles ou hyperboles de tous les ordres.

Le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe œ et correspondant aux abscisses a, a' sera la limite de YiTZj^a.^ a représentant une quelconque des subdivisions infiniment petites de l'intervalle a' — a. En substituant à j* sa valeur en a:, il faudra trouver

7r/?^liinl.r""a,

Or, d'après la remarque générale du n^ 43, on a, entre les limites a, a\

lim2a:""a = '

Le volume cherché a donc pour mesure

tZp'

im -f- I 2/n -f- 1

On l'obtient donc en divisant par a/w -|- 1 la différence des deux cylindres ayant pour bases les deux bases mêmes du

solide à évaluer, et pour hauteurs les abscisses correspondantes.

Solides non de réi^olution.

87. Segment d'ellipsoïde, — Rapportons la surface à des axes parallèles à un système de diamètres conjugués, dont l'un passe par le centre de la base du segment. Prenons ce dernier pour axe des j:, et pour origine Textrémité qui appartient au segment. L'équation de Fellipsoïde sera

Soit AD = d [fig> 20) l'abscisse du plan de la base du segment qui est parallèle au plan YZ. Nous considérerons le volume du segment comme limite de la somme de cylindres ayant pour bases des sections parallèles à YZ et pour hauteurs les distances infiniment petites de ces plans successifs. Une quelconque de ces hauteurs s'obtiendra en multipliant la partie a correspondante de l'axe AX par le sinus de l'angle 0 que ce diamètre AX de l'ellipsoïde fait avec le plan COB des deux autres conjugués. L'aire de la section MPN correspondante à un x quelconque AP sera îr.MP.PN sincj), cp étant l'angle des diamètres OB, OC. En remplaçant MP, NP par leurs valeurs en ,r, on trouvera peur expression d'un quelconque des cylindres élémentaires,

sm 0 sm © ( 2 âr^ — ^') a,

Le volume cherché V peut donc être représenté comme il suit :

V = — - sin ô sin ç lini\^ [^.ax — .2:') a,

lorsque x passe de o à tf par degrés, égaux ou inégaux, mais infiniment petits, représentés par a.

y8 LIVRE I.

On aura encore, comme précédemment, d'après le n^ 43,

d}(Za-^d)

et, par conséquent.

(i) Vi= ^-^ ^smôsmç.

Si Ton suppose d=2,a^ on aura pour expression du volume entier de Tellipsoïde

5 Tra^csinOsino,

ce qui peut être traduit de diflereiifes manières, en observant que ai^csindsinf mesure le volume du parallélépipède construit sur les trois demi-diamètres conjugués, et que TT^csinf .2asind mesure le cylindre circonscrit à Fellipsoïde, ayant les arêtes parallèles à AX, et ses bases parallèles à YZ. Une des conséquences de Texpression précédente est que ce parallélépipède et ce cylindre ont leurs volumes constants, quel que soit le système des diamètres conjugués.

L'expression (i) comparée à celle du volume du cône ayant même base que le segment, et son sommet en A, donne un énoncé semblable à celui qu'Arcbimède a fait connaître dans le cas de Fellipsoïde de révolution.

On trouverait des résultats analogues aux précédents pour les hyperboloïdes et paraboloïdes quelconques 5 nous ne croyons pas utile de nous y arrêter.

58. Onglet cylindrique, — Considérons un cylindre droit dont la base soit le cercle ABC {Jig' 21) 5 par un de ses diamètres AB, menons un plan quelconque qui coupe la surface du cylindre suivant l'ellipse ABD, et proposons-

DES QUANTITÉS GONSIBl^RÉES GOMME LIMITES. jg

nous de calculer le volume de Fonglet compris entre ABS et ABC.

Supposons le rayon OC perpendiculaire à AB; D le point de rencontre du plan sécant et de Faréte menée en C 5 soient OC = R, CD = A.

Suivant la méthode générale, nous regarderons le volume comme limite d'une somme de cylindres ayant pour bases un système de sections parallèles, et nous prendrons ces plans perpendiculaires à AB.

Soit MPQ un quelconque de ces plans; faisons AP = x^ PQ = y^ on aura

jr» = 2R;r — :r» et MQrj'.lCDiOC, d'où

La section MQP a donc pour mesure

Si donc nous désignons par a la distance infiniment petite du plan de cette section au suivant, le volume cherché V aura pour mesure

et comme 2R' est le rectangle circonscrit à la base ABC de l'onglet, le volume de ce dernier est égal à celui de la pyramide qui aurait ce rectangle pour base et son sommet en D.

8o LIVRÇ I.