DE GRAVITÉ
59. Nous admettons comme connue la théorie des centres de gravité enseignée dans les cours les plus élémentaires de Statique, et nous nous proposons de la prendre comme un nouvel exemple de Favantage des méthodes précédentes.
La proposition dont l'application est la plus générale dans la théorie des forces parallèles, et qui découle naturellement du principe du levier, est ce qu'on nomme le tAeorème des moments. On appelle m.oment d'une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance de son point d'application à ce plan. Cela posé, si l'on conçoit un système quelconque de forces parallèles, que l'on considère comme positives celles dont les directions sont dans l'un des sens, et comme négatives celles qui sont dans l'autre, et qu'il en soit de même pour les perpendiculaires abaissées sur un plan choisi arbitrairement, et dont le signe dépendra du côté où elles se trouveront par rapport au plan, le théorème des moments consiste, comme on le sait, en ce que le moment de la résultante des forces parallèles par rapport au plan est égal à la somme algébrique des moments des composantes. Il résulte de là que les coordonnées rectilignes du point d'application de la résultante s'obtiendront en divisant par la résultante la somme des moments des forces par rapport aux trois plans coordonnés. Ce point d'application de la résultante, que Voil-
DES QUANTITÉS COHSIDÉRÉES GOMME LIMITES. 8l
nomme le centre des forces parallèles, devient le centre de gravité quand ces forces sont des poids 5 et Ton voit ainsi comment le théorème des moments peut être employé à la détermination des centres de gravité.
Nous allons faire voir comment les considérations infinitésimales s'appliquent aux surfaces planes et aux solides continus, et nous en donnerons quelques exemples pour bien faire comprendre les généralités.
Les principes que nous admettrons comme établis dans la Statique sont les suivants :
Le centre de gravité d'un système quelconque de points situés dans un même plan est compris dans l'intérieur de toute ligne convexe continue qui les renfermerait. Le centre de gravité d'un système quelconque de points est situé dans l'intérieur de toute surface convexe continue qui les renfermerait.
Centres de granité des aires planes.
60. Considérons une figure plane terminée par des droites ou des courbes quelconques; supposons qu'elle soit homogène, c'est-à-dire que les portions quelconques de cette figure aient les poids proportionnels à leurs aires respectives.
Prenons deux axes de coordonnées x^ y dans le plan de la surface. Le centre de gravité étant le point d'application de la résultante de toutes les forces appliquées à tous les points de la surface, proportionnellement aux aires, si l'on lécompose la surface en un nombre quelconque de parties,. it que l'on considère en tous les centres de gravité de ces parties des forces parallèles, représentées par leurs aires c*€spectives, et dont la résultante sera représentée par l'aire totale et appliquée au centre de gravité cherché 5 cette aire totale, multipliée par l'abscisse de son centre de gravité.
Cale, inf, D. — I. 6
Sa LIVRE I.
sera égale à la somme des aires partielles multipliées par les abscisses de leurs centres de gravité. Si les axes ne sont pas rectangulaires, ces produits ne sont pas les moments eux-mêmes, mais proportionnels aux moments, ce qui suffit pour l'exactitude de l'équation. Mais comme il ne serait pas plus facile de trouver les centres de gravité de toutes les p«u:ties que de la surface entière, on supposera ces parties infiniment petites *, leurs moments le seront, par suite, et par conséquent on pourra leur substituer d'autres infiniment petits, plus simples, assujettis k la seule conditioii que leurs rapports aient respectivement pour limite l'unité. Mais alors ce sera seulement la limite de leur somme qui sera égale au moment de la résultante et qui, par conséquent, divisée par l'aire de la figure donnée, fera oonnaitre l'abscisse du centre de gravité.
Le mode de décomposition qui se présente de lui-même pour déterminer cette abscisse consiste dans un système de parallèles à l'axe des ^, infiniment voisines les unes des autres. Le segment compris entre deux parallèles consécutives peut toujours être considéré comme renfermé dans un contour convexe, dont ses deux bases feraient partie; son centre de gravité sera donc entre ces deux droites, et son abscisse différera d'une quantité infiniment petite des abscisses de chacune d'elles ; on peut donc substituer au moment de ce segment le produit de son aire par l'abscisse de l'une ou de l'autre de ces deux parallèles à l'axe des j-\ car le rapport de ce produit au moment véritable a pour limite l'unité, quand la distance de ces parallèles tend vers zéro. Et, par la même raison, on pourra, dans ce produit, substituer à l'aire du segment celle du parallélogramme ayante l'une des cordes parallèles pour base et sa distance à l'autrepour hauteur.
Donc, si l'on désigne par Y et y les ordonnées des deui^ points extrêmes de la corde qui correspond à l'abscisse quel —
conque X'y par a la partie de Taxe des x interceptée entre deux cordes consécutives ^ par A Taire de la figure, et par Xi^ Yi les coiôdonnées inconnues du centre de gravité, on aura, en supposant, pour plus de simplicité, les axes rectangu- Jaires,
Aar, = limy ( Y — jr)^«9
d'où Von tirera x^ , si Ton peut déterminer la limite de celte somme, ainsi que A.
On aurait y^ par un procédé analogue, en décomposant la figure au moyen d'un système de parallèles à Taxe des x. Mais on peut aussi conserver le premier mode, en remarquant que le centre de gravité d'un des éléments ne peut être qu'A une distance infiniment petite de celui du rectangle inscrit ou circonscrit, et que, par conséquent, on peut substituer au moment exact de cet élément le produit de
l'aire du rectangle par ^^ —t qui peut être pris pour
lordonnée du centre de ce rectangle. On aura ainsi
Aj. — hm > "^ 'LJ. a,
Cil si l'on peut trouver cette limite, j'i sera déterminé.
61. Cette formule donne lieu à une remarque curieuse. Si l'on multiplie ses deux membres par 2 7r, il vient
27r.riA=::lim7r2 (Y'— /')«.
Or le second membre représente le volimie engendré par
1* aire en question, tournant autour de l'axe de^ x. Le vo-
t.Mjme engendré est donc égal à l'aire de la figure géné^
r'^trice, multipliée par la circonférence que décrit son
centre de gray^ité.
Ce théorème porte le nom de Guldin, quoiqu'il se trouve
clairement énoncé dans les Ouvrages de Pappus, géomètre de Técole d* Alexandrie.
Nous allons donner quelques exemples de ces jfprmules.
62. Parabole du second ordre. — Soit l'équation r' = 2/7 j: ; et cherchons le centre de gravité du segment CAC [fig' 22) terminé à la perpendiculaire à Taxe, correspondant à Tabscisse AP = a. Les rectangles formés par les cordes parallèles à CC ayant tous leurs centres de gravité sur Taxe, leurs moments, par rapport à cet axe, seront nuls^ la limite de leur somme le sera donc, et, par suite, on aura
Jx = O.
Le centre de gravité étant sur Taxe, il suffit de connaître son abscisse Xi .
La formule précédente devient, dans le cas actuel.
Mais, d'après une formule trouvée précédemment (n® 43), on a entre les limites o et a,
donc
Or, en faisant BC = i, on a
A = ^ab,
d'où Ton déduit
C'est Archimède qui a découvert cette propriété, e même pour un segment de parabole déterminé par une s<
cante quelconque. Le calcul en serait tout à fait le même que celui que nous venons de faire pour une sécante perpendiculaire à l'axe de la courbe.
63. Paraboles et hyperboles d'ordre quelconque. — Soit maintenant l'équation y = px!^^ dans laquelle m désigne un nombre de grandeur et de signe quelconque 5 on demande le centre de gravité de la surface terminée à cette courbe, à l'axe des x^ et à deux perpendiculaires à Taxe des x^ correspondant aux abscisses a^ a' .
L'application des formules générales donnera
ou
^'«+2 ^jifH-2 pi ^'2»t+I - ^2«+l
Kx^z=p ; , Xx\=^- ; •
Or nous avons trouvé (n® 43)
d'où il résulté
^* ~" m -h 2 * a'"^' — a^> ' "^^ ""2(2/11 -hi)' a'"'"»"'— o^' *
Si /n est positif, la courbe est parabolique -, et si l'on fait commencer l'aire en question à l'origine, on a a = o 5 et, en désignant par i' l'ordonnée correspondant à a',
Dans la parabole du second degré, m = - > et l'on trouve Si 771 est négatif, la courbe est hyperbolique et donne
