S6 LIVRE
lien k une discussion intéressante à laquelle nous ne nom arrêterons pas. On reconnaîtra sans peine que, quand Tab* scisse extrême a' croit sans limite, il est possible, suivant la valeur de m, que le centre de gravité s'éloigne indéfiniment de Taxe des j-^ en tendant vers Taxe des x^ ou tende vers une limite déterminée.
64. Centre de grandie des solides de révolution homo^ gènes. — Le centre de gravité sera évidemment sur Taxe de révolution^ il suffira donc de connaître son abscisse. Pour la trouver, on coupera le solide par des plans infilniment voisins, perpendiculaires à Taxe de révolution que Ton prendra pour axe des j: 5 et en supposant les poids proportionnels aux volumes, le produit du volume total par l'abscisse Xi du centre de gravité sera égal à la somme des produits des segments compris entre deux plans consécutifs, par Vx du centre de gravité de ce segment, qui est évidemment compris entre les plans de ses bases. Pour simplifier ces produits, on substituera à ce dernier x celui d'une quelconque des bases du segment, ou mèmcv tout autre qui en difiererait d'une quantité infiniment petite; on remplacera encore le volume du segment par celui du cylindre intérieur ou extérieur. Par là on n'aura altéré le moment du segment infiniment petit du solide que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. La limite de la somme de ces nouveaux produits sera donc égale à la somme des moments eux-mêmes, ou au produit du volume total par o^i ; et si l'on connaît cette limite de somme et le volume, on en déduira immédiatement Xi .
Cette proposition est exprimée par la formule suivante
lira Ixy^a = x, lira 2 j'a.
65. Paraboloïde, — Si la courbe génératrice est un parabole ayant pour équation j^* = ^px et tournant au tour de l'axe des x^ on aura, en remplaçant y par sa valeu
DES QUANTITÉS CONSIOÉRÉBS COHBIB LIMITES. 87
et, d'après la valeur générale de lîmSj::*a, cette équation se réduira & la suivante, en désignant toujours par a et a' les abscisses extrêmes,
d'où
SI a = o, on a
résultat connu d'Archimède.
Le cas où l'on ferait tourner la parabole autour de sa tangente au sommet est renfermé dans le suivant.
66. Généralisons ce résultat en prenant pour courbe génératrice celle dont l'équation est
m désignant un nombre quelconque. L'équation générale
devient
lim 2 j:''"+* a,=: Xi lira Ix^'^a,
OU
rrr Xi 9
d'où Ton tirera xi.
On retombe sur le cas précédent en supposant m = -»
^» =i O, et Ton retrouve
On aurait le cas où la parabole tourne autour de sa tangente au sommet, en supposant m= 2, ce qui donne, eu
prenant encore a = o,
